Сколько общих касательных имеют две окружности с центрами О1 и О2 и радиусами R и r, если: а) О1О2=12 см, R=8 см, r=6 см; б) О1О2=12 см, R=8 см, r=4 см; в) О1О2=12 см, R=6 см, r=4 см; г) О1О2=2 см, R=8 см, r=6 см; д) О1О2=3 см, R=5 см, r=4 см?

Решение:

Количество общих касательных зависит от соотношения между расстоянием между центрами окружностей (d = О1О2) и суммой (R+r) или разностью (R-r) их радиусов.

• Две внешние касательные: Если окружности не пересекаются и одна не находится внутри другой (d > R+r).
• Одна касательная: Если окружности касаются внешне (d = R+r) или внутренне (d = |R-r|, при R ≠ r).
• Две внешние и две внутренние касательные: Если окружности пересекаются ( |R-r| < d < R+r).
• Нуль касательных: Если одна окружность полностью находится внутри другой и не касается ее (d < |R-r|) или если окружности совпадают (d = 0, R = r).

Анализ случаев:

• а) О1О2 = 12 см, R = 8 см, r = 6 см:
  R + r = 8 + 6 = 14 см.
  |R - r| = |8 - 6| = 2 см.
  Так как |R - r| < О1О2 < R + r (2 < 12 < 14), окружности пересекаются. Количество общих касательных: 2 внешние + 2 внутренние = 4.
• б) О1О2 = 12 см, R = 8 см, r = 4 см:
  R + r = 8 + 4 = 12 см.
  |R - r| = |8 - 4| = 4 см.
  Так как О1О2 = R + r (12 = 12), окружности касаются внешне. Количество общих касательных: 2 внешние + 1 общая = 3.
• в) О1О2 = 12 см, R = 6 см, r = 4 см:
  R + r = 6 + 4 = 10 см.
  |R - r| = |6 - 4| = 2 см.
  Так как О1О2 > R + r (12 > 10), окружности не пересекаются и не касаются, одна не внутри другой. Количество общих касательных: 2 внешние.
• г) О1О2 = 2 см, R = 8 см, r = 6 см:
  R + r = 8 + 6 = 14 см.
  |R - r| = |8 - 6| = 2 см.
  Так как О1О2 = |R - r| (2 = 2), окружности касаются внутренне. Количество общих касательных: 1.
• д) О1О2 = 3 см, R = 5 см, r = 4 см:
  R + r = 5 + 4 = 9 см.
  |R - r| = |5 - 4| = 1 см.
  Так как |R - r| < О1О2 < R + r (1 < 3 < 9), окружности пересекаются. Количество общих касательных: 2 внешние + 2 внутренние = 4.

Ответ:

• а) 4
• б) 3
• в) 2
• г) 1
• д) 4