«Скалярное произведение векторов» (9 класс) Вариант А1 1. Вычислите скалярное произведение векторов тип, если т {3; -2}, n {-2; 3}. 2. Вычислите косинус угла между векторами Рия, если Р (3; −4}, 9 {15; 8}. 3. Даны векторы a {2; -3} и Б {x; -4}. При каком значении х эти векторы перпендикулярны? 4. Найдите косинус угла А треугольника с вершинами А (3; 9), B (0; 6), C (4; 2).

1. Вычислите скалярное произведение векторов $$\vec{m}$$ и $$\vec{n}$$, если $$\vec{m} {3; -2}$$, $$\vec{n} {-2; 3}$$.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат:

$$\vec{m} \cdot \vec{n} = m_x \cdot n_x + m_y \cdot n_y$$

В нашем случае:

$$\vec{m} \cdot \vec{n} = 3 \cdot (-2) + (-2) \cdot 3 = -6 - 6 = -12$$

Ответ: -12

2. Вычислите косинус угла между векторами $$\vec{p}$$ и $$\vec{q}$$, если $$\vec{p} {3; -4}$$, $$\vec{q} {15; 8}$$.

Косинус угла между векторами вычисляется по формуле:

$$\cos(\alpha) = \frac{\vec{p} \cdot \vec{q}}{|\vec{p}| \cdot |\vec{q}|}$$

где $$\vec{p} \cdot \vec{q}$$ - скалярное произведение векторов, а $$|\vec{p}|$$ и $$|\vec{q}|$$ - их длины.

Найдем скалярное произведение:

$$\vec{p} \cdot \vec{q} = 3 \cdot 15 + (-4) \cdot 8 = 45 - 32 = 13$$

Найдем длины векторов:

$$|\vec{p}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

$$|\vec{q}| = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17$$

Теперь найдем косинус угла:

$$\cos(\alpha) = \frac{13}{5 \cdot 17} = \frac{13}{85}$$

Ответ: $$\frac{13}{85}$$

3. Даны векторы $$\vec{a} {2; -3}$$ и $$\vec{b} {x; -4}$$. При каком значении x эти векторы перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot x + (-3) \cdot (-4) = 2x + 12$$

Решим уравнение:

$$2x + 12 = 0$$

$$2x = -12$$

$$x = -6$$

Ответ: -6

4. Найдите косинус угла A треугольника с вершинами A(3; 9), B(0; 6), C(4; 2).

Косинус угла A можно найти, используя теорему косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)$$ $$\cos(A) = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$$

Найдем длины сторон:

$$AB = \sqrt{(0-3)^2 + (6-9)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

$$AC = \sqrt{(4-3)^2 + (2-9)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$

$$BC = \sqrt{(4-0)^2 + (2-6)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

Теперь найдем косинус угла A:

$$\cos(A) = \frac{(3\sqrt{2})^2 + (5\sqrt{2})^2 - (4\sqrt{2})^2}{2 \cdot 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2}} = \frac{18 + 50 - 32}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 2} = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6$$

Ответ: 0.6