Системы уравнений как математические модели реальных ситуаций 89 Путь от туристической базы до моря пролегал сначала в гору, а затем с горы. От турбазы до моря туристы шли в гору 45 мин и с горы 40 мин, а обратно — в гору 1 ч 15 мин, а с горы 24 мин. Найди- те длину каждого участка пути, если путь в одну сторону равен 5,4 км.

Решение:

Обозначим длину пути в гору за \( S_{гор} \) км, а длину пути с горы за \( S_{сгор} \) км.

1. Путь от турбазы до моря:

• Время в гору: \( t_{вгор} = 45 \) мин = \( \frac{45}{60} \) ч = \( \frac{3}{4} \) ч.
• Время с горы: \( t_{сгор} = 40 \) мин = \( \frac{40}{60} \) ч = \( \frac{2}{3} \) ч.
• Путь в одну сторону равен 5,4 км: \( S_{гор} + S_{сгор} = 5.4 \)

2. Обратный путь (с моря на турбазу):

• Время в гору: \( t_{обратно,вгор} = 1 \) ч 15 мин = \( 1 + \frac{15}{60} \) ч = \( 1 + \frac{1}{4} \) ч = \( \frac{5}{4} \) ч.
• Время с горы: \( t_{обратно,сгор} = 24 \) мин = \( \frac{24}{60} \) ч = \( \frac{2}{5} \) ч.
• Путь в одну сторону равен 5,4 км: \( S_{обратно,гор} + S_{обратно,сгор} = 5.4 \).

3. Скорость движения:

Путь в гору на пути туда является путём с горы на обратном пути, и наоборот.

Пусть \( v_{вгор} \) — скорость в гору, \( v_{сгор} \) — скорость с горы.

Имеем систему уравнений:

1. \( S_{гор} = v_{вгор} \cdot t_{вгор} = v_{вгор} \cdot \frac{3}{4} \)
2. \( S_{сгор} = v_{сгор} \cdot t_{сгор} = v_{сгор} \cdot \frac{2}{3} \)
3. \( S_{гор} + S_{сгор} = 5.4 \)
4. \( S_{обратно,гор} = S_{сгор} = v_{обратно,вгор} \cdot \frac{5}{4} \)
5. \( S_{обратно,сгор} = S_{гор} = v_{обратно,сгор} \cdot \frac{2}{5} \)

Из (1) и (5): \( S_{гор} = v_{сгор} \cdot \frac{2}{5} \). Из (1) и (3) имеем \( v_{вгор} \cdot \frac{3}{4} + v_{сгор} \cdot \frac{2}{3} = 5.4 \).

Из (2) и (4): \( S_{сгор} = v_{вгор} \cdot \frac{5}{4} \). Из (2) и (4) имеем \( v_{обратно,вгор} \cdot \frac{5}{4} + v_{обратно,сгор} \cdot \frac{2}{5} = 5.4 \).

Учитывая, что \( v_{вгор} = v_{обратно,сгор} \) и \( v_{сгор} = v_{обратно,вгор} \), получаем:

\( v_{вгор} \cdot \frac{3}{4} + v_{сгор} \cdot \frac{2}{3} = 5.4 \)

\( v_{сгор} \cdot \frac{5}{4} + v_{вгор} \cdot \frac{2}{5} = 5.4 \)

Умножим первое уравнение на \( \frac{2}{5} \), второе на \( \frac{3}{4} \):

\( v_{вгор} \cdot \frac{6}{20} + v_{сгор} \cdot \frac{4}{15} = 5.4 \cdot \frac{2}{5} \) → \( v_{вгор} \cdot \frac{3}{10} + v_{сгор} \cdot \frac{4}{15} = 2.16 \)

\( v_{сгор} \cdot \frac{15}{16} + v_{вгор} \cdot \frac{6}{20} = 5.4 \cdot \frac{3}{4} \) → \( v_{сгор} \cdot \frac{15}{16} + v_{вгор} \cdot \frac{3}{10} = 4.05 \)

Выразим \( v_{вгор} \) из второго уравнения:

\( v_{вгор} \cdot \frac{3}{10} = 4.05 - v_{сгор} \cdot \frac{15}{16} \)

Подставим в первое:

\( \left( 4.05 - v_{сгор} \cdot \frac{15}{16} \right) + v_{сгор} \cdot \frac{4}{15} = 2.16 \)

\( 4.05 - 2.16 = v_{сгор} \cdot \frac{15}{16} - v_{сгор} \cdot \frac{4}{15} \)

\( 1.89 = v_{сгор} \left( \frac{15}{16} - \frac{4}{15} \right) \)

\( 1.89 = v_{сгор} \left( \frac{225 - 64}{240} \right) \)

\( 1.89 = v_{сгор} \cdot \frac{161}{240} \)

\( v_{сгор} = 1.89 \cdot \frac{240}{161} = \frac{189}{100} \cdot \frac{240}{161} = \frac{189 \cdot 12}{5 \cdot 161} = \frac{2268}{805} \approx 2.817 \) км/ч

\( v_{вгор} \cdot \frac{3}{10} = 4.05 - \frac{2268}{805} \cdot \frac{15}{16} = 4.05 - \frac{2268 \cdot 15}{805 \cdot 16} = \frac{405}{100} - \frac{34020}{12880} = \frac{81}{20} - \frac{3402}{1288} = \frac{81}{20} - \frac{850.5}{322} \)

\( v_{вгор} \cdot \frac{3}{10} = \frac{405}{100} - \frac{2268 \cdot 15}{805 \cdot 16} = \frac{81}{20} - \frac{34020}{12880} = \frac{81}{20} - \frac{3402}{1288} = \frac{81}{20} - \frac{850.5}{322} \)

\( v_{вгор} \cdot \frac{3}{10} = \frac{405}{100} - \frac{34020}{12880} = \frac{81}{20} - \frac{3402}{1288} = \frac{81}{20} - \frac{1701}{644} = \frac{81 \cdot 32.2 - 1701 \cdot 5}{644} \)

\( v_{вгор} \cdot \frac{3}{10} = 4.05 - \frac{2268}{805} \cdot \frac{15}{16} = \frac{405}{100} - \frac{34020}{12880} = \frac{81}{20} - \frac{3402}{1288} = \frac{81 \cdot 64.4 - 3402 \cdot 5}{1288} \)

\( v_{вгор} \cdot \frac{3}{10} = 4.05 - \frac{2268 \cdot 15}{805 \cdot 16} = \frac{81}{20} - \frac{34020}{12880} = \frac{81}{20} - \frac{3402}{1288} = \frac{81 \cdot 644 - 3402 \cdot 10}{12880} \)

\( v_{вгор} \cdot \frac{3}{10} = 4.05 - 2.64 = 1.41 \)

\( v_{вгор} = 1.41 \cdot \frac{10}{3} = 4.7 \) км/ч

\( v_{сгор} = 2.817 \) км/ч

4. Расстояние участков:

• \( S_{гор} = v_{вгор} \cdot \frac{3}{4} = 4.7 \cdot 0.75 = 3.525 \) км.
• \( S_{сгор} = v_{сгор} \cdot \frac{2}{3} = 2.817 \cdot \frac{2}{3} \approx 1.878 \) км.

Проверка: \( 3.525 + 1.878 = 5.403 \) км (близко к 5,4 км).

5. Обратный путь:

• Путь в гору: \( S_{обратно,гор} = v_{сгор} \cdot \frac{5}{4} = 2.817 \cdot 1.25 \approx 3.521 \) км.
• Путь с горы: \( S_{обратно,сгор} = v_{вгор} \cdot \frac{2}{5} = 4.7 \cdot 0.4 = 1.88 \) км.

Проверка: \( 3.521 + 1.88 = 5.401 \) км (близко к 5,4 км).

Ответ: Длина пути в гору составляет приблизительно 3,53 км, а длина пути с горы — приблизительно 1,88 км.