Системы иррациональных уравнений: { 4√xy = 48 √x + √y = 7 } 3) { √x + √y = 5 x + y = 13 } 4) { (√x + √y)² = ? x - y = 3 }

Привет! Давай разберёмся с этими системами уравнений. Они выглядят немного страшно из-за корней, но на самом деле решаются довольно просто, если знать пару трюков.

Система №3

Вот наша первая система:

\[\begin{cases} 4\sqrt{xy} = 48 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 7 \end{cases}\]

1. Упростим первое уравнение:

   Разделим обе части на 4:

   \[ \sqrt{xy} = 12 \]

   Возведём обе части в квадрат, чтобы избавиться от корня:

   \[ xy = 144 \]
2. Теперь у нас есть система:\[\begin{cases} xy = 144 \\ \sqrt{x} + \sqrt{y} = 7 \end{cases}\]

   Давай найдём пару чисел, произведение которых равно 144, а сумма их квадратных корней равна 7. Попробуем подобрать числа. Если взять √x = 3 и √y = 4, то:

   • √x + √y = 3 + 4 = 7 (Подходит!)
   • xy = (√x)² * (√y)² = 3² * 4² = 9 * 16 = 144 (Тоже подходит!)

   Значит, √x = 3 и √y = 4.

3. Найдём x и y:

   Если √x = 3, то x = 3² = 9.

   Если √y = 4, то y = 4² = 16.

Проверка:

• 4√xy = 4√(9*16) = 4√144 = 4 * 12 = 48 (Верно)
• √x + √y = √9 + √16 = 3 + 4 = 7 (Верно)

Ответ: (9; 16)

Система №4

Переходим ко второй системе:

\[\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 5 \\ x + y = 13 \end{cases}\]

1. Введём замену:

   Пусть a = √x и b = √y. Тогда x = a² и y = b².

   Наша система примет вид:

   \[\begin{cases} a + b = 5 \\ a^2 + b^2 = 13 \end{cases}\]
2. Решим новую систему:

   Из первого уравнения выразим b:

   \[ b = 5 - a \]

   Подставим во второе уравнение:

   \[ a^2 + (5 - a)^2 = 13 \]

   Раскроем скобки:

   \[ a^2 + (25 - 10a + a^2) = 13 \]

   Приведём подобные слагаемые:

   \[ 2a^2 - 10a + 25 - 13 = 0 \]

   2a² - 10a + 12 = 0

   Разделим на 2:

   \[ a^2 - 5a + 6 = 0 \]

   Решим квадратное уравнение (можно по теореме Виета):

   • a₁ + a₂ = 5
   • a₁ * a₂ = 6

   Легко увидеть, что a₁ = 2 и a₂ = 3.

3. Найдем b:

   Если a = 2, то b = 5 - 2 = 3.

   Если a = 3, то b = 5 - 3 = 2.

4. Вернемся к x и y:

   Случай 1: a = 2, b = 3.

   • √x = 2 => x = 2² = 4
   • √y = 3 => y = 3² = 9

   Случай 2: a = 3, b = 2.

   • √x = 3 => x = 3² = 9
   • √y = 2 => y = 2² = 4

Проверка:

• Для (4; 9): √4 + √9 = 2 + 3 = 5 (Верно). 4 + 9 = 13 (Верно).
• Для (9; 4): √9 + √4 = 3 + 2 = 5 (Верно). 9 + 4 = 13 (Верно).

Ответ: (4; 9) и (9; 4)