Sinxcosx(sinx+cosx)=(cosx-sinx) (cosx+sinx)

Привет! Давай разберемся с этим примером. Задача — проверить, верное ли равенство.

Исходное выражение:

• \[ \sin x \cos x (\sin x + \cos x) = (\cos x - \sin x) (\cos x + \sin x) \]

Рассмотрим правую часть равенства:

• \[ (\cos x - \sin x) (\cos x + \sin x) \]
• Это формула разности квадратов: \[ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \]
• Применяя ее, получаем:
• \[ \cos^2 x - \sin^2 x \]
• Это формула косинуса двойного угла:
• \[ \cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x \]
• Итак, правая часть равна \[ \cos(2x) \]

Теперь рассмотрим левую часть равенства:

• \[ \sin x \cos x (\sin x + \cos x) \]
• Мы знаем, что \[ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \]
• Отсюда \[ \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x) \]
• Подставляем это в левую часть:
• \[ \frac{1}{2} \sin(2x) (\sin x + \cos x) \]

Сравнение частей:

• Левая часть: \[ \frac{1}{2} \sin(2x) (\sin x + \cos x) \]
• Правая часть: \[ \cos(2x) \]
• Очевидно, что эти выражения не равны. Например, при \[ x = \frac{\pi}{4} \]
• Левая часть: \[ \frac{1}{2} \sin(\frac{\pi}{2}) (\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) = \frac{1}{2} \times 1 \times (\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
• Правая часть: \[ \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \]
• Так как \[ \frac{\sqrt{2}}{2}
  eq 0 \]
• , то равенство неверно.

Ответ: Равенство не является тождеством.