sinx + cos x - sqrt(6)/2 = 0

Решение:

Данное уравнение является тригонометрическим. Для его решения приведем уравнение к виду \( a \cdot \sin x + b \cdot \cos x = c \).

\( \sin x + \cos x = \frac{\sqrt{6}}{2} \)

Разделим обе части на \( \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \):

\( \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{2}} \)

Используя формулу \( \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \) и зная, что \( \cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}} \), получим:

\( \sin x \cos \frac{\pi}{4} + \cos x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Теперь решим полученное уравнение:

\( x + \frac{\pi}{4} = \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi k \) или \( x + \frac{\pi}{4} = \pi - \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

\( \arcsin \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{\pi}{3} \).

Следовательно:

1) \( x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = \frac{4\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k \)

\( x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \)

2) \( x + \frac{\pi}{4} = \pi - \frac{\pi}{3} + 2\pi k \)

\( x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \)

\( x = \frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{4} + 2\pi k \)

\( x = \frac{8\pi - 3\pi}{12} + 2\pi k \)

\( x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k \)

Ответ: \( x = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \) или \( x = \frac{5\pi}{12} + 2\pi k \), \( k \in \mathbb{Z} \).