2 1) sinx + sinx-2=0 2 2) 4sinx-11 cosx-1=0 3) 2 2 sinx - sinxcosx-2cosx = 0

1) \[\sin^2 x + \sin x - 2 = 0\]

• Пусть \(t = \sin x\), тогда уравнение принимает вид:
• \[t^2 + t - 2 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение:
• \[D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\]
• \[t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 + 3}{2} = 1\]
• \[t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 - 3}{2} = -2\]
• Возвращаемся к замене:
• \[\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
• \[\sin x = -2\] (не имеет решений, так как \(|\sin x| \le 1\))

Ответ: \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

2) \[4\sin^2 x - 11\cos x - 1 = 0\]

• Используем основное тригонометрическое тождество: \(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)
• \[4(1 - \cos^2 x) - 11\cos x - 1 = 0\]
• \[4 - 4\cos^2 x - 11\cos x - 1 = 0\]
• \[-4\cos^2 x - 11\cos x + 3 = 0\]
• Умножаем на -1:
• \[4\cos^2 x + 11\cos x - 3 = 0\]
• Пусть \(t = \cos x\), тогда уравнение принимает вид:
• \[4t^2 + 11t - 3 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение:
• \[D = 11^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 121 + 48 = 169\]
• \[t_1 = \frac{-11 + \sqrt{169}}{8} = \frac{-11 + 13}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\]
• \[t_2 = \frac{-11 - \sqrt{169}}{8} = \frac{-11 - 13}{8} = \frac{-24}{8} = -3\]
• Возвращаемся к замене:
• \[\cos x = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \arccos\frac{1}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\]
• \[\cos x = -3\] (не имеет решений, так как \(|\cos x| \le 1\))

Ответ: \(x = \pm \arccos\frac{1}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}\)

3) \[3\sin^2 x - \sin x \cos x - 2\cos^2 x = 0\]

• Разделим обе части уравнения на \(\cos^2 x\) (если \(\cos x = 0\), то \(\sin x = 0\), что невозможно, так как \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)):
• \[3\tan^2 x - \tan x - 2 = 0\]
• Пусть \(t = \tan x\), тогда уравнение принимает вид:
• \[3t^2 - t - 2 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение:
• \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\]
• \[t_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{6} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1\]
• \[t_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{6} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\]
• Возвращаемся к замене:
• \[\tan x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]
• \[\tan x = -\frac{2}{3} \Rightarrow x = -\arctan\frac{2}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]

Ответ: \(x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\) и \(x = -\arctan\frac{2}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\)