2. 5 sin2x - 5 sin x cos x - 2 cos² x = −1

Для решения данного тригонометрического уравнения необходимо привести его к более простому виду, используя основные тригонометрические тождества.

Исходное уравнение:

$$5 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = -1$$

Известно, что $$sin^2 x + cos^2 x = 1$$. Подставим это в правую часть уравнения:

$$5 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = -(\sin^2 x + \cos^2 x)$$

$$5 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x = -\sin^2 x - \cos^2 x$$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$$5 \sin^2 x + \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - 2 \cos^2 x + \cos^2 x = 0$$

$$6 \sin^2 x - 5 \sin x \cos x - \cos^2 x = 0$$

Разделим обе части уравнения на $$\cos^2 x$$, предполагая, что $$\cos x ≠ 0$$:

$$6 \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} - 5 \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} - \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$$

$$6 \tan^2 x - 5 \tan x - 1 = 0$$

Введем замену $$t = \tan x$$. Получаем квадратное уравнение:

$$6t^2 - 5t - 1 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-1) = 25 + 24 = 49$$.

Тогда корни уравнения:

$$t_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 7}{12} = \frac{12}{12} = 1$$

$$t_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{49}}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 7}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$$

Вернемся к замене. Получаем два уравнения:

$$\tan x = 1$$

$$\tan x = -\frac{1}{6}$$

Решим первое уравнение: $$\tan x = 1$$

$$x = \arctan(1) + \pi k$$, где $$k$$ — целое число.

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

Решим второе уравнение: $$\tan x = -\frac{1}{6}$$

$$x = \arctan(-\frac{1}{6}) + \pi n$$, где $$n$$ — целое число.

$$x = -\arctan(\frac{1}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Таким образом, общее решение уравнения:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$$

$$x = -\arctan(\frac{1}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}; x = -\arctan(\frac{1}{6}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$$