Sin x < -sqrt(2)/2

Решение:

Нам нужно найти интервалы, где значение синуса меньше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Известно, что \( \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \) при \( x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \) и \( x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \), где \( k \) — целое число.

На единичной окружности значения \( \frac{5\pi}{4} \) и \( \frac{7\pi}{4} \) соответствуют точкам, где синус равен \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \).

Синус меньше \( -\frac{\sqrt{2}}{2} \) на дуге, соответствующей углам между \( \frac{5\pi}{4} \) и \( \frac{7\pi}{4} \) (против часовой стрелки).

Таким образом, интервалы, удовлетворяющие условию \( \sin x < -\frac{\sqrt{2}}{2} \), будут:

\[ \frac{5\pi}{4} + 2\pi k < x < \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \]

где \( k \in \mathbb{Z} \) (множество целых чисел).

Ответ: \( x \in \left( \frac{5\pi}{4} + 2\pi k; \frac{7\pi}{4} + 2\pi k \right), k \in \mathbb{Z} \).