sin(x + pi/6) = -1/2

Решение:

Нам нужно решить тригонометрическое уравнение \( \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \).

Общее решение уравнения \( \sin \alpha = a \) имеет вид \( \alpha = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \) — целое число.

В нашем случае \( \alpha = x + \frac{\pi}{6} \) и \( a = -\frac{1}{2} \).

Значение \( \arcsin\left(-\frac{1}{2}\right) \) равно \( -\frac{\pi}{6} \), так как \( \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2} \).

Подставляем в общую формулу:

\[ x + \frac{\pi}{6} = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) + \pi n \]

Теперь выразим \( x \):

\[ x = (-1)^n \left(-\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{6} + \pi n \]

Рассмотрим два случая:

1. При n — чётное число (т.е. \( n = 2k \), где \( k \) — целое число):

\[ x = (-1)^{2k} \left(-\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{6} + \pi (2k) \]

\[ x = 1 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

\[ x = -\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

\[ x = -\frac{2\pi}{6} + 2\pi k \]

\[ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \]

2. При n — нечётное число (т.е. \( n = 2k + 1 \), где \( k \) — целое число):

\[ x = (-1)^{2k+1} \left(-\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{6} + \pi (2k+1) \]

\[ x = -1 \cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi \]

\[ x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6} + 2\pi k + \pi \]

\[ x = \pi + 2\pi k \]

Таким образом, у нас два набора решений.

Ответ: \( x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \) и \( x = \pi + 2\pi k \), где \( k \) — любое целое число.