sin x = 1/2

Решение:

Уравнение \( \sin x = \frac{1}{2} \) является простейшим тригонометрическим уравнением.

Мы знаем, что \( \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} \).

Общее решение уравнения \( \sin x = a \) имеет вид \( x = (-1)^n \arcsin a + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

В данном случае \( a = \frac{1}{2} \), \( \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6} \).

Следовательно, общее решение будет:

\[ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Это можно расписать на два случая:

1. Если \( n \) — чётное число, то есть \( n = 2k \), где \( k \in \mathbb{Z} \):
\[ x = (-1)^{2k} \frac{\pi}{6} + \pi (2k) = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \]

2. Если \( n \) — нечётное число, то есть \( n = 2k + 1 \), где \( k \in \mathbb{Z} \):
\[ x = (-1)^{2k+1} \frac{\pi}{6} + \pi (2k+1) = -\frac{\pi}{6} + \pi + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \]

Таким образом, решениями уравнения являются:

\[ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и \( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).