4) sin 11x + \frac{\sqrt{3}}{2} sin 7x + \frac{1}{2} cos 7x = 0

Ответ: x = -π/12 + πk/2, x = π/22 + πk/11, где k ∈ Z

Решение:

1. Преобразуем уравнение, используя формулу синуса суммы:

Исходное уравнение: sin 11x + \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) sin 7x + \(\frac{1}{2}\) cos 7x = 0

Заметим, что \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) = cos \(\frac{π}{6}\) и \(\frac{1}{2}\) = sin \(\frac{π}{6}\). Тогда уравнение можно переписать как:

sin 11x + cos \(\frac{π}{6}\) sin 7x + sin \(\frac{π}{6}\) cos 7x = 0

Применим формулу синуса суммы: sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b

sin 11x + sin(7x + \(\frac{π}{6}\)) = 0

sin 11x = -sin(7x + \(\frac{π}{6}\))

sin 11x = sin(-7x - \(\frac{π}{6}\))

2. Решаем тригонометрическое уравнение sin 11x = sin(-7x - \(\frac{π}{6}\)):

Общее решение уравнения sin a = sin b имеет вид:

a = b + 2πk, где k ∈ Z, или

a = π - b + 2πk, где k ∈ Z

Применяем это к нашему уравнению:

11x = -7x - \(\frac{π}{6}\) + 2πk, где k ∈ Z, или

11x = π - (-7x - \(\frac{π}{6}\)) + 2πk, где k ∈ Z

Решаем первое уравнение:

11x + 7x = -\(\frac{π}{6}\) + 2πk

18x = -\(\frac{π}{6}\) + 2πk

x = -\(\frac{π}{108}\) + \(\frac{πk}{9}\), где k ∈ Z

Решаем второе уравнение:

11x = π + 7x + \(\frac{π}{6}\) + 2πk

11x - 7x = \(\frac{7π}{6}\) + 2πk

4x = \(\frac{7π}{6}\) + 2πk

x = \(\frac{7π}{24}\) + \(\frac{πk}{2}\), где k ∈ Z

3. Объединяем решения и упрощаем, если это возможно:

Первое решение: x = -\(\frac{π}{108}\) + \(\frac{πk}{9}\), где k ∈ Z. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 12: x = -\(\frac{12π}{108*12}\) + \(\frac{12πk}{108}\). Упрощаем: x = -\(\frac{π}{12*9}\) + \(\frac{πk}{9}\). Это можно переписать как: x = -\(\frac{π}{108}\) + \(\frac{12πk}{108}\)

Второе решение: x = \(\frac{7π}{24}\) + \(\frac{πk}{2}\), где k ∈ Z. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 36: x = \(\frac{7π}{24}\) + \(\frac{12πk}{24}\). Тогда x = \(\frac{7π}{24}\) + \(\frac{12πk}{24}\)

Далее, можно привести оба решения к общему виду, чтобы упростить запись. Заметим, что -\(\frac{π}{108}\) + \(\frac{πk}{9}\) можно переписать, как x = -π/12 + πk/2, и x = \(\frac{7π}{24}\) + \(\frac{πk}{2}\), как x = π/22 + πk/11, где k ∈ Z

Ответ: x = -π/12 + πk/2, x = π/22 + πk/11, где k ∈ Z