Sin^2 x - sin x - 2 = 0

Решение:

Это квадратное уравнение относительно \( \sin x \). Сделаем замену переменной: пусть \( y = \sin x \). Тогда уравнение примет вид:

\[ y^2 - y - 2 = 0 \]

1. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \]

2. Найдём корни \( y_1 \) и \( y_2 \):

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 3}{2} = 2 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 3}{2} = -1 \]

3. Сделаем обратную замену:

\( \sin x = 2 \) или \( \sin x = -1 \)

4. Рассмотрим первое уравнение: \( \sin x = 2 \). Так как значение синуса находится в промежутке \( [-1; 1] \), это уравнение не имеет решений.
5. Рассмотрим второе уравнение: \( \sin x = -1 \).

Общее решение этого уравнения:

\[ x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \).