sin 2α + sin 2α cos 2α - cos 8α

Давай разберем по порядку! У нас есть выражение: \[\frac{\sin 2\alpha + \sin 2\alpha}{\cos 2\alpha - \cos 8\alpha}\] Сначала упростим числитель: \[\sin 2\alpha + \sin 2\alpha = 2 \sin 2\alpha\] Теперь знаменатель. Вспомним формулу разности косинусов: \[\cos x - \cos y = -2 \sin \frac{x+y}{2} \sin \frac{x-y}{2}\] В нашем случае: \[x = 2\alpha, y = 8\alpha\] Подставим в формулу: \[\cos 2\alpha - \cos 8\alpha = -2 \sin \frac{2\alpha + 8\alpha}{2} \sin \frac{2\alpha - 8\alpha}{2}\] Упростим: \[-2 \sin \frac{10\alpha}{2} \sin \frac{-6\alpha}{2} = -2 \sin 5\alpha \sin (-3\alpha)\] Так как \(\sin(-x) = -\sin x\), то: \[-2 \sin 5\alpha \sin (-3\alpha) = 2 \sin 5\alpha \sin 3\alpha\] Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение: \[\frac{2 \sin 2\alpha}{2 \sin 5\alpha \sin 3\alpha} = \frac{\sin 2\alpha}{\sin 5\alpha \sin 3\alpha}\]

Ответ: \[\frac{\sin 2\alpha}{\sin 5\alpha \sin 3\alpha}\]