Sin 70° + sin 10° cos 70° - cos 10°

Для решения данного выражения воспользуемся формулами преобразования суммы и разности тригонометрических функций.

Формула для суммы синусов: $$\sin(a) + \sin(b) = 2 \sin(\frac{a+b}{2}) \cos(\frac{a-b}{2})$$

Формула для разности косинусов: $$\cos(a) - \cos(b) = -2 \sin(\frac{a+b}{2}) \sin(\frac{a-b}{2})$$

Применим эти формулы к нашему выражению:

$$\frac{\sin 70^\circ + \sin 10^\circ}{\cos 70^\circ - \cos 10^\circ} = \frac{2 \sin(\frac{70^\circ+10^\circ}{2}) \cos(\frac{70^\circ-10^\circ}{2})}{-2 \sin(\frac{70^\circ+10^\circ}{2}) \sin(\frac{70^\circ-10^\circ}{2})}$$

Упростим:

$$\frac{2 \sin(40^\circ) \cos(30^\circ)}{-2 \sin(40^\circ) \sin(30^\circ)}$$

Сократим $$2 \sin(40^\circ)$$:

$$\frac{\cos(30^\circ)}{-\sin(30^\circ)} = -\operatorname{ctg}(30^\circ)$$

Знаем, что $$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$$ и $$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$. Следовательно:

$$-\operatorname{ctg}(30^\circ) = -\frac{\cos(30^\circ)}{\sin(30^\circ)} = -\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = -\sqrt{3}$$

Ответ: $$-\sqrt{3}$$