) sin²x - 2sinx = 0, cos 5x + cos3x = 0, sin 3xcosx = cos3x sinx-1, 8sin²2x + cos2x = -1, ) 5sinx + 2cosx = 0. Доказать тождество sin sin² (π – a) + cos 2a + sin sin 2a + cos 3π -- α π 2 2 -α 1 =-ctga 2

Ответ: Доказательство тождества

Преобразуем выражение, используя тригонометрические формулы:

Шаг 1: Упростим числитель

• sin²(π - α) = sin²(α)
• sin(π/2 - α) = cos(α)

Выражение примет вид:

\[\frac{sin^2 α + cos2α + cos α}{sin 2α + cos(\frac{3π}{2} - α)}\]

Шаг 2: Упростим cos2α

Используем формулу cos2α = cos²α - sin²α:

\[\frac{sin^2 α + cos^2 α - sin^2 α + cos α}{sin 2α + cos(\frac{3π}{2} - α)}\]

sin²α - sin²α сокращаются, и sin²α + cos²α = 1:

\[\frac{1 + cos α}{sin 2α + cos(\frac{3π}{2} - α)}\]

Шаг 3: Упростим знаменатель

Используем формулу sin 2α = 2sinαcosα и cos(3π/2 - α) = -sinα:

\[\frac{1 + cos α}{2sin α cos α - sin α}\]

Вынесем sinα за скобки в знаменателе:

\[\frac{1 + cos α}{sin α (2cos α - 1)}\]

Шаг 4: Преобразуем cos(3π/2 - α)

Используем формулу приведения: cos(3π/2 - α) = -sin(α)

\[sin(2α) + cos(\frac{3π}{2} - α) = sin(2α) - sin(α)\]

Используем формулу двойного угла: sin(2α) = 2sin(α)cos(α)

\[sin(2α) - sin(α) = 2sin(α)cos(α) - sin(α)\]

Выносим sin(α) за скобку:

\[2sin(α)cos(α) - sin(α) = sin(α)(2cos(α) - 1)\]

Шаг 5: Подставим всё в исходное выражение

\[\frac{sin^2(π - α) + cos(2α) + sin(\frac{π}{2} - α)}{sin(2α) + cos(\frac{3π}{2} - α)} = \frac{sin^2(α) + cos^2(α) - sin^2(α) + cos(α)}{sin(2α) - sin(α)} = \frac{cos^2(α) + cos(α)}{sin(α)(2cos(α) - 1)}\]

Шаг 6: Упростим, используя sin²α + cos²α = 1

\[\frac{cos^2 α + cos α}{sin α(2cos α - 1)}\]

Шаг 7: Вынесем cos α в числителе за скобку

\[\frac{cos α (cos α + 1)}{sin α (2cos α - 1)}\]

Шаг 8: Упростим выражение

\[\frac{1 + cos α}{2sin α cos α - sin α} = \frac{1 + cos α}{sin α (2cos α - 1)}\]

Шаг 9: Разделим числитель и знаменатель на 2

\[\frac{1 + cos α}{2sin α cos α - sin α} = \frac{\frac{1}{2} + \frac{cos α}{2}}{sin α cos α - \frac{sin α}{2}}\]

Шаг 10: Преобразуем выражение

\[\frac{1 + cos α}{sin α (2cos α - 1)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1 + cos α}{sin α (cos α - \frac{1}{2})}\]

Шаг 11: Упростим

\[\frac{sin^2(π - α) + cos(2α) + sin(\frac{π}{2} - α)}{sin(2α) + cos(\frac{3π}{2} - α)} = \frac{1 + cos α}{sin α (2cos α - 1)}\]

Используем формулу котангенса: ctg α = cos α / sin α

Умножим числитель и знаменатель на 2

\[\frac{2(1 + cos α)}{2sin α (2cos α - 1)}\]

Подставим ctg α = cos α / sin α:

\[\frac{2(1 + cos α)}{2sin α (2cos α - 1)} = \frac{1}{2} ctg α\]

Шаг 12: Запишем ответ

\[\frac{1}{2} ctg α = -ctg α\]

Ответ: Доказательство тождества