149 150 3 sin² 151 152 153 3 sin x + cos x = 0 x + 2 sin x cos x2 cos² x 03 sin2 x + 2 sin x cos x2 cos² x = 0 = 2 cos²x3 sin x cos x + 5 sin² sin x + sin x cos² x = sin³ x cos³ x = 3 x + sin x cos5 x √2 √2 2sinxcosx = 1

Ответ: Решения тригонометрических уравнений

149

Решим уравнение: 3 sin x + cos x = 0

• Перенесем cos x в правую часть: 3 sin x = -cos x
• Разделим обе части на cos x (при условии, что cos x ≠ 0): 3 tan x = -1
• tan x = -\frac{1}{3}
• x = arctan(-\frac{1}{3}) + πn, где n ∈ Z

Ответ: x = arctan(-\frac{1}{3}) + πn, n ∈ Z

150

Решим уравнение: 3 sin² x + 2 sin x cos x - 2 cos² x = 0

• Разделим обе части на cos² x (при условии, что cos x ≠ 0): 3 tan² x + 2 tan x - 2 = 0
• Пусть t = tan x, тогда уравнение примет вид: 3t² + 2t - 2 = 0
• Найдем дискриминант: D = 2² - 4 * 3 * (-2) = 4 + 24 = 28
• t₁ = \frac{-2 + \sqrt{28}}{6} = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3}
• t₂ = \frac{-2 - \sqrt{28}}{6} = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}
• tan x = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} или tan x = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3}
• x = arctan(\frac{-1 + \sqrt{7}}{3}) + πn или x = arctan(\frac{-1 - \sqrt{7}}{3}) + πn, где n ∈ Z

Ответ: x = arctan(\frac{-1 + \sqrt{7}}{3}) + πn, x = arctan(\frac{-1 - \sqrt{7}}{3}) + πn, n ∈ Z

151

Уравнение: 2 cos² x - 3 sin x cos x + 5 sin² x = 3

• Используем основное тригонометрическое тождество: 2 cos² x - 3 sin x cos x + 5 sin² x = 3(sin² x + cos² x)
• 2 cos² x - 3 sin x cos x + 5 sin² x = 3 sin² x + 3 cos² x
• Приведем подобные члены: 2 sin² x - 3 sin x cos x - cos² x = 0
• Разделим обе части на cos² x (при условии, что cos x ≠ 0): 2 tan² x - 3 tan x - 1 = 0
• Пусть t = tan x, тогда уравнение примет вид: 2t² - 3t - 1 = 0
• Найдем дискриминант: D = (-3)² - 4 * 2 * (-1) = 9 + 8 = 17
• t₁ = \frac{3 + \sqrt{17}}{4}
• t₂ = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}
• tan x = \frac{3 + \sqrt{17}}{4} или tan x = \frac{3 - \sqrt{17}}{4}
• x = arctan(\frac{3 + \sqrt{17}}{4}) + πn или x = arctan(\frac{3 - \sqrt{17}}{4}) + πn, где n ∈ Z

Ответ: x = arctan(\frac{3 + \sqrt{17}}{4}) + πn, x = arctan(\frac{3 - \sqrt{17}}{4}) + πn, n ∈ Z

153

Уравнение: \frac{\sqrt{2}}{2} sin x - \frac{\sqrt{2}}{2} cos x = 1

• Умножим обе части на \sqrt{2}: sin x - cos x = \sqrt{2}
• Представим \sqrt{2} как sin(\frac{π}{4}) и cos(\frac{π}{4}): sin x cos(\frac{π}{4}) - cos x sin(\frac{π}{4}) = 1
• sin(x - \frac{π}{4}) = 1
• x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2πn, где n ∈ Z
• x = \frac{3π}{4} + 2πn, где n ∈ Z

Ответ: x = \frac{3π}{4} + 2πn, где n ∈ Z

Ответ: Решения тригонометрических уравнений