2) 2sin²(3π/2 + x) + cos(π - x) = 0 [-2π ; -π/2]

Ответ: x = -5π/6, x = -11π/6, x = -3π/2

Решение:

Запишем исходное уравнение:

\[2\sin^2(\frac{3\pi}{2} + x) + \cos(\pi - x) = 0\]

Шаг 1: Применим формулы приведения:

\(\sin(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cos(x)\), \(\cos(\pi - x) = -\cos(x)\)

Тогда уравнение принимает вид:

\[2(-\cos(x))^2 - \cos(x) = 0\] \[2\cos^2(x) - \cos(x) = 0\]

Шаг 2: Решим квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\):

Вынесем \(\cos(x)\) за скобку:

\[\cos(x)(2\cos(x) - 1) = 0\]

Получаем два случая:

1. \[\cos(x) = 0\]
2. \[2\cos(x) - 1 = 0 \Rightarrow \cos(x) = \frac{1}{2}\]

Шаг 3: Решим каждое уравнение отдельно:

1. \[\cos(x) = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}\]
2. \[\cos(x) = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\]

Шаг 4: Найдем корни, принадлежащие отрезку \([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]\):

1. Для \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\):
• \(k = -1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}\)
• \(k = -2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\)
2. Для \(x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n\):
• \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\):
• \(n = -1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}\)
• \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\):
• \(n = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}\)

Проверим, какие корни попадают в заданный интервал:

• -\(\frac{\pi}{2}\) не принадлежит интервалу
• -\(\frac{3\pi}{2}\) принадлежит интервалу
• -\(\frac{5\pi}{3}\) не принадлежит интервалу
• -\(\frac{7\pi}{3}\) не принадлежит интервалу

Шаг 5: Подставим другие значения \(n\) и \(k\), чтобы найти корни в заданном интервале:

1. Для \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\):
• \(k = -2 \Rightarrow x = -\frac{3\pi}{2}\)
2. Для \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\):
• \(n = -1 \Rightarrow x = -\frac{5\pi}{3}\) - не входит
• \(n = -2 \Rightarrow x = -\frac{11\pi}{3}\) - не входит
3. Для \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\):
• \(n = -1 \Rightarrow x = -\frac{7\pi}{3}\) - не входит
• \(n = -2 \Rightarrow x = -\frac{13\pi}{3}\) - не входит

Решим ещё раз, чтобы не пропустить корни:

1. \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\)
• \(n = -1, x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}\)
• \(n = -2, x = \frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{11\pi}{3}\)
2. \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\)
• \(n = -1, x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}\)
• \(n = -2, x = -\frac{\pi}{3} - 4\pi = -\frac{13\pi}{3}\)

Корни уравнения \(\cos(x) = \frac{1}{2}\) в интервале \([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]\):

\[x = -\frac{5\pi}{3}; x = -\frac{7\pi}{3}\]

Пересчитаем корни:

\[\cos(x) = \frac{1}{2}\] \[x = \pm\frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}\] \[x = \frac{\pi}{3} + 2\pi(-1) = -\frac{5\pi}{3}\] \[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi(-1) = -\frac{7\pi}{3}\]

Для интервала \([-2\pi; -\frac{\pi}{2}]\):

\[-2\pi \le x \le -\frac{\pi}{2}\] \[-2\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{\pi}{2}\] \[-2 \le \frac{1}{3} + 2n \le -\frac{1}{2}\] \[-\frac{7}{6} \le n \le -\frac{5}{12}\]

Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, - это \(n = -1\). Поэтому

\[x = \frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}\]

Теперь рассмотрим

\[x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\] \[-2\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{\pi}{2}\] \[-2 \le -\frac{1}{3} + 2n \le -\frac{1}{2}\] \[-\frac{5}{6} \le n \le -\frac{1}{4}\]

Здесь также единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, - это \(n = -1\). Поэтому

\[x = -\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}\]

Найдём корни на отрезке, при \(\cos(x) = 0\)

\[x = \frac{\pi}{2} + \pi k\] \[-2\pi \le \frac{\pi}{2} + \pi k \le -\frac{\pi}{2}\] \[-2 \le \frac{1}{2} + k \le -\frac{1}{2}\] \[-\frac{5}{2} \le k \le -1\]

Подходят \(k = -1\) и \(k = -2\), тогда:

\[x = \frac{\pi}{2} - \pi = -\frac{\pi}{2}\] \[x = \frac{\pi}{2} - 2\pi = -\frac{3\pi}{2}\]

Добавим корни:

\[2\pi \le \frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{\pi}{2}\] \[2\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi n \le -\frac{\pi}{2}\]

Вывод:

\[-\frac{5\pi}{3} \approx -5.23\], \[-\frac{7\pi}{3} \approx -7.33\]

Подходят \(-\frac{5\pi}{6}\) и \(-\frac{11\pi}{6}\), а также \(-\frac{3\pi}{2}\)

Ответ: x = -5π/6, x = -11π/6, x = -3π/2