Simplify the following rational expressions: (32a / (a^2 - 9)) and ((a - 3) / 8a).

Решение:

Перед нами две дроби:

1. \[ \frac{32a}{a^2 - 9} \]
2. \[ \frac{a - 3}{8a} \]

Шаг 1: Разложим знаменатель первой дроби на множители.

Знаменатель a^2 - 9 представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). В нашем случае x = a, а y = 3.

Следовательно:

\[ a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3) \]

Теперь первая дробь выглядит так:

\[ \frac{32a}{(a - 3)(a + 3)} \]

Шаг 2: Сократим дроби, если это возможно.

Первую дробь сократить не получится, так как нет общих множителей в числителе и знаменателе.

Вторую дробь тоже нельзя сократить, она в простейшем виде.

Итоговый вид дробей:

• \[ \frac{32a}{(a - 3)(a + 3)} \]
• \[ \frac{a - 3}{8a} \]