Simplify the following expressions: $$ \frac{8^{11}}{32^2 \cdot 4^7} $$

Решение:

Для упрощения выражения \( \frac{8^{11}}{32^2 \cdot 4^7} \) представим все числа в виде степеней двойки:

1. \( 8 = 2^3 \), значит \( 8^{11} = (2^3)^{11} = 2^{33} \).
2. \( 32 = 2^5 \), значит \( 32^2 = (2^5)^2 = 2^{10} \).
3. \( 4 = 2^2 \), значит \( 4^7 = (2^2)^7 = 2^{14} \).
4. Подставим полученные степени в исходное выражение: \( \frac{2^{33}}{2^{10} \cdot 2^{14}} \).
5. Применим свойство степеней при умножении (степени складываются): \( \frac{2^{33}}{2^{10+14}} = \frac{2^{33}}{2^{24}} \).
6. Применим свойство степеней при делении (степени вычитаются): \( 2^{33-24} = 2^9 \).
7. Вычислим результат: \( 2^9 = 512 \).

Ответ: 512