Simplify the following expressions: $$ \frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3} $$

Решение:

Для упрощения выражения \( \frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3} \) представим числа в виде простых множителей:

1. Разложим 24 на простые множители: \( 24 = 2^3 \cdot 3 \).
2. Тогда \( 24^4 = (2^3 \cdot 3)^4 = (2^3)^4 \cdot 3^4 = 2^{12} \cdot 3^4 \).
3. Число 8 представим как \( 8 = 2^3 \).
4. Тогда \( 8^3 = (2^3)^3 = 2^9 \).
5. Подставим разложенные множители в исходное выражение: \( \frac{2^{12} \cdot 3^4}{3^2 \cdot 2^9} \).
6. Применим свойства степеней (при делении степени вычитаются): \( 2^{12-9} \cdot 3^{4-2} = 2^3 \cdot 3^2 \).
7. Вычислим результат: \( 2^3 = 8 \), \( 3^2 = 9 \).
8. \( 8 \cdot 9 = 72 \).

Ответ: 72