Simplify the following expression: $$ \left(\frac{5x^{-2}}{64^{-1}}\right)^{-3} \cdot 125x^6y^5 $$

Решение:

Давай упростим это выражение шаг за шагом!

1. Сначала разберёмся с дробью внутри скобок:




• Помним, что отрицательная степень означает, что основание переносится в другую часть дроби. То есть, \( x^{-2} = \frac{1}{x^2} \) и \( 64^{-1} = \frac{1}{64} \).


• Подставляем это в нашу дробь:



\[ \frac{5x^{-2}}{64^{-1}} = \frac{5 \cdot \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{64}} = \frac{5}{x^2} \cdot 64 = \frac{5 \cdot 64}{x^2} = \frac{320}{x^2} \]





2. Теперь возведём полученную дробь в степень \(-3\):




• При возведении дроби в отрицательную степень, мы переворачиваем дробь и меняем знак у показателя степени.



\[ \left(\frac{320}{x^2}\right)^{-3} = \left(\frac{x^2}{320}\right)^{3} = \frac{(x^2)^3}{(320)^3} = \frac{x^{2 \cdot 3}}{320^3} = \frac{x^6}{320^3} \]



• Рассчитаем \( 320^3 \). Это довольно большое число, но мы можем заметить, что \( 320 = 5 \cdot 64 \).



\[ 320^3 = (5 \cdot 64)^3 = 5^3 \cdot 64^3 = 125 \cdot (4^3)^3 = 125 \cdot 4^9 \]



• Давай упростим \( 64^{-1} \) как \( \frac{1}{64} \). Тогда вся дробь будет \( \frac{5x^{-2}}{1/64} = 5x^{-2} \cdot 64 = 320x^{-2} \).


• Возведём \( 320x^{-2} \) в степень \(-3\):



\[ (320x^{-2})^{-3} = 320^{-3} \cdot (x^{-2})^{-3} = \frac{1}{320^3} \cdot x^6 \]



• Теперь перемножим это с оставшейся частью выражения:



\[ \frac{x^6}{320^3} \cdot 125x^6y^5 \]



• Обратим внимание, что \( 320 = 5 \cdot 64 \).



\[ \frac{x^6}{(5 \cdot 64)^3} \cdot 125x^6y^5 = \frac{x^6}{5^3 \cdot 64^3} \cdot 5^3 x^6 y^5 = \frac{x^6}{125 \cdot 64^3} \cdot 125 x^6 y^5 \]



• Сократим \( 125 \):



\[ \frac{x^6}{64^3} \cdot x^6 y^5 = \frac{x^{6+6} y^5}{64^3} = \frac{x^{12} y^5}{64^3} \]





3. Давай ещё раз пересмотрим исходное выражение, чтобы не запутаться.




• \( \frac{5x^{-2}}{64^{-1}} = \frac{5}{x^2} \cdot 64 = \frac{320}{x^2} \)


• \( \left(\frac{320}{x^2}\right)^{-3} = \left(\frac{x^2}{320}\right)^3 = \frac{x^6}{320^3} \)


• \( \frac{x^6}{320^3} \cdot 125x^6y^5 \)


• Заметим, что \( 125 = 5^3 \) и \( 320 = 5 \cdot 64 \).



\[ \frac{x^6}{(5 \cdot 64)^3} \cdot 5^3 x^6 y^5 = \frac{x^6}{5^3 \cdot 64^3} \cdot 5^3 x^6 y^5 \]



• Сокращаем \( 5^3 \):



\[ \frac{x^6}{64^3} \cdot x^6 y^5 = \frac{x^{12} y^5}{64^3} \]



• Теперь посчитаем \( 64^3 \). \( 64 = 2^6 \). \( 64^3 = (2^6)^3 = 2^{18} \).


• Также \( 64 = 4^3 \). \( 64^3 = (4^3)^3 = 4^9 \).


• \( 64^3 = 262144 \).



\[ \frac{x^{12} y^5}{262144} \]

Ответ: \( \frac{x^{12} y^5}{262144} \).