Simplify the following expression: \(\frac{y}{x+8} - \frac{6}{2-x}\)

Решение:

Чтобы вычесть дроби, приведём их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет \( (x+8)(2-x) \).

1. Первую дробь \( \frac{y}{x+8} \) умножим на \( \frac{2-x}{2-x} \):

\( \frac{y}{x+8} \cdot \frac{2-x}{2-x} = \frac{y(2-x)}{(x+8)(2-x)} \)

2. Вторую дробь \( \frac{6}{2-x} \) умножим на \( \frac{x+8}{x+8} \):

\( \frac{6}{2-x} \cdot \frac{x+8}{x+8} = \frac{6(x+8)}{(2-x)(x+8)} \)

3. Теперь вычтем вторую дробь из первой:

\( \frac{y(2-x)}{(x+8)(2-x)} - \frac{6(x+8)}{(x+8)(2-x)} = \frac{y(2-x) - 6(x+8)}{(x+8)(2-x)} \)

4. Раскроем скобки в числителе:

\( y(2-x) = 2y - xy \)
\( 6(x+8) = 6x + 48 \)

5. Подставим обратно в числитель:

\( (2y - xy) - (6x + 48) = 2y - xy - 6x - 48 \)

6. Итоговое выражение:

\( \frac{2y - xy - 6x - 48}{(x+8)(2-x)} \)

7. Можно также раскрыть скобки в знаменателе:

\( (x+8)(2-x) = 2x - x^2 + 16 - 8x = -x^2 - 6x + 16 \)

8. Окончательный вид выражения:

\( \frac{2y - xy - 6x - 48}{-x^2 - 6x + 16} \)

Ответ: \( \frac{2y - xy - 6x - 48}{(x+8)(2-x)} \) или \( \frac{-xy - 6x + 2y - 48}{-x^2 - 6x + 16} \).