Simplify the following expression: \(\frac{6+11x-2x^2}{6x-x^2}\)

Решение:

Чтобы упростить данное выражение, мы можем попытаться разложить числитель и знаменатель на множители. Попробуем разложить квадратный трёхчлен в числителе \( -2x^2 + 11x + 6 \).

1. Для \( -2x^2 + 11x + 6 \) найдём корни уравнения \( -2x^2 + 11x + 6 = 0 \). Используем формулу дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac \).
2. \( D = 11^2 - 4(-2)(6) = 121 + 48 = 169 \).
3. \( \sqrt{D} = \sqrt{169} = 13 \).
4. Корни: \( x_1 = \frac{-11 + 13}{2(-2)} = \frac{2}{-4} = -0.5 \) и \( x_2 = \frac{-11 - 13}{2(-2)} = \frac{-24}{-4} = 6 \).
5. Таким образом, числитель можно записать как \( -2(x - (-0.5))(x - 6) = -2(x + 0.5)(x - 6) = -(2x + 1)(x - 6) \) или \( (2x + 1)(6 - x) \).
6. Теперь разложим знаменатель \( 6x - x^2 \). Вынесем \( x \) за скобки: \( x(6 - x) \).
7. Подставим разложенные числитель и знаменатель обратно в дробь: \( \frac{(2x + 1)(6 - x)}{x(6 - x)} \).
8. Если \( 6 - x \neq 0 \) (то есть \( x \neq 6 \)), то мы можем сократить \( (6 - x) \).
9. Получаем упрощённое выражение: \( \frac{2x + 1}{x} \).

Ответ: \( \frac{2x + 1}{x} \).