Simplify the expression: \( \sqrt[4]{3a^{-3}b^4} \)

Решение:

Чтобы упростить выражение, применим свойства степеней и корней.

1. Перепишем выражение, используя отрицательные степени: \( \sqrt[4]{3a^{-3}b^4} = \left( 3a^{-3}b^4 \right)^{\frac{1}{4}} \)
2. Применим свойство степени \( (xyz)^n = x^n y^n z^n \): \( \left( 3a^{-3}b^4 \right)^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot \left( a^{-3} \right)^{\frac{1}{4}} \cdot \left( b^4 \right)^{\frac{1}{4}} \)
3. Применим свойство степени \( (x^m)^n = x^{mn} \): \( 3^{\frac{1}{4}} \cdot a^{-3 \cdot \frac{1}{4}} \cdot b^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot a^{-\frac{3}{4}} \cdot b^1 \)
4. Перепишем отрицательную степень с положительным показателем: \( 3^{\frac{1}{4}} \cdot \frac{1}{a^{\frac{3}{4}}}} \cdot b = \frac{b \cdot 3^{\frac{1}{4}}}{a^{\frac{3}{4}}} \)
5. Запишем результат с помощью корней: \( \frac{b \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{a^3}} \)

Ответ: \( \frac{b \sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{a^3}} \)