Simplify the expression: \sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sin^2\frac{15\pi}{8}

Привет! Давай разберемся с этим выражением пошагово.

Нам нужно упростить: $$\sqrt{2} - 2\sqrt{2}\sin^2\frac{15\pi}{8}$$

1. Используем формулу двойного угла для косинуса:
   Мы знаем, что $$\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$$.
   Отсюда можно выразить $$2\sin^2(\alpha) = 1 - \cos(2\alpha)$$.
2. Применим формулу к нашему выражению:
   В нашем случае $$\alpha = \frac{15\pi}{8}$$. Тогда $$2\alpha = 2 \times \frac{15\pi}{8} = \frac{15\pi}{4}$$.
   Изначальное выражение можно переписать так: $$\sqrt{2} - \sqrt{2}(2\sin^2\frac{15\pi}{8})$$.
   Подставляем формулу: $$\sqrt{2} - \sqrt{2}(1 - \cos(\frac{15\pi}{4}))$$.
3. Вычисляем косинус:
   Угол $$\frac{15\pi}{4}$$ можно представить как $$\frac{16\pi - \pi}{4} = 4\pi - \frac{\pi}{4}$$.
   Так как $$4\pi$$ — это полный оборот (два полных оборота), то $$\cos(\frac{15\pi}{4}) = \cos(4\pi - \frac{\pi}{4}) = \cos(-\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})$$.
   Значение $$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$.
4. Подставляем значение косинуса обратно:
   $$\sqrt{2} - \sqrt{2}(1 - \frac{\sqrt{2}}{2})$$
5. Раскрываем скобки:
   $$\sqrt{2} - \sqrt{2} + \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$$
6. Упрощаем:
   $$\sqrt{2} - \sqrt{2} + \frac{2}{2}$$
   $$= 0 + 1$$
   $$= 1$$

Ответ: 1