Simplify the expression: \(\sqrt{108}\cos^2{\frac{\pi}{12}}-\sqrt{27}\)

Чтобы упростить выражение \(\sqrt{108}\cos^2{\frac{\pi}{12}}-\sqrt{27}\), выполним следующие шаги:

1. Упростим корни:
   \(\sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}\)
   \(\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3}\)
2. Вычислим \(\cos^2{\frac{\pi}{12}}\):
   Сначала найдем \(\cos{\frac{\pi}{12}}\). Используем формулу косинуса половинного угла: \(\cos^2{\alpha} = \frac{1 + \cos{2\alpha}}{2}\).
   В нашем случае \(\alpha = \frac{\pi}{12}\), значит \(2\alpha = \frac{\pi}{6}\).
   \(\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
   Теперь подставим в формулу:
   \(\cos^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1 + \cos{\frac{\pi}{6}}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\frac{2 + \sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}\)
3. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:
   \(6\sqrt{3} \times \frac{2 + \sqrt{3}}{4} - 3\sqrt{3}\)
4. Выполним умножение:
   \(\frac{6\sqrt{3}(2 + \sqrt{3})}{4} - 3\sqrt{3} = \frac{12\sqrt{3} + 6 \times 3}{4} - 3\sqrt{3} = \frac{12\sqrt{3} + 18}{4} - 3\sqrt{3}\)
5. Разделим и упростим:
   \(\frac{12\sqrt{3}}{4} + \frac{18}{4} - 3\sqrt{3} = 3\sqrt{3} + \frac{9}{2} - 3\sqrt{3}\)
6. Сократим члены с \(\sqrt{3}\):
   \(3\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + \frac{9}{2} = \frac{9}{2}\)

Ответ:

Ответ: rac{9}{2}