Simplify the expression: \(\left(\frac{x^2y^{-3}}{6z}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{x^2y^{-2}}{9z}\right)^{2}\)

Давай упростим это выражение по шагам!

1. Применяем степень к первой дроби:

   Когда мы возводим дробь в степень, мы возводим в эту степень и числитель, и знаменатель.

   • \[ \left(\frac{x^2y^{-3}}{6z}\right)^{-3} = \frac{(x^2)^{-3}(y^{-3})^{-3}}{(6z)^{-3}} \]
   • \[ = \frac{x^{2 \times (-3)} y^{-3 \times (-3)}}{6^{-3}z^{-3}} = \frac{x^{-6}y^{9}}{6^{-3}z^{-3}} \]
   • \[ = \frac{y^9 \cdot 6^3 z^3}{x^6} = \frac{y^9 \cdot 216 z^3}{x^6} \]
2. Применяем степень ко второй дроби:

   Аналогично, возводим числитель и знаменатель во вторую степень.

   • \[ \left(\frac{x^2y^{-2}}{9z}\right)^{2} = \frac{(x^2)^{2}(y^{-2})^{2}}{(9z)^{2}} \]
   • \[ = \frac{x^{2 \times 2} y^{-2 \times 2}}{9^2z^{2}} = \frac{x^4y^{-4}}{81z^{2}} \]
   • \[ = \frac{x^4}{81z^{2}y^4} \]
3. Умножаем полученные выражения:

   Теперь перемножим результаты из шагов 1 и 2.

   • \[ \frac{216 y^9 z^3}{x^6} \cdot \frac{x^4}{81 z^2 y^4} \]
4. Сокращаем и упрощаем:

   Перемножаем числители и знаменатели, а затем сокращаем общие множители.

   • \[ = \frac{216 \cdot x^4 \cdot y^9 \cdot z^3}{81 \cdot x^6 \cdot y^4 \cdot z^2} \]
   • \[ = \frac{216}{81} \cdot \frac{x^4}{x^6} \cdot \frac{y^9}{y^4} \cdot \frac{z^3}{z^2} \]
   • \[ = \frac{8}{3} \cdot x^{4-6} \cdot y^{9-4} \cdot z^{3-2} \]
   • \[ = \frac{8}{3} \cdot x^{-2} \cdot y^5 \cdot z^1 \]
   • \[ = \frac{8 y^5 z}{3 x^2} \]

Ответ:

\[ \frac{8 y^5 z}{3 x^2} \]