Simplify the expression \(\left(\frac{1}{y} - \frac{1}{x+y}\right) \div \frac{x}{y}\) and find its value when \(x=1\) and \(y=-0.8\).

Давай разберем это задание по шагам, чтобы всё стало понятно!

Шаг 1: Упрощаем выражение

Сначала раскроем скобки, приведя дроби к общему знаменателю:

• \[ \frac{1}{y} - \frac{1}{x+y} = \frac{x+y}{y(x+y)} - \frac{y}{y(x+y)} = \frac{x+y-y}{y(x+y)} = \frac{x}{y(x+y)} \]

Теперь подставим это обратно в наше выражение:

• \[ \left(\frac{x}{y(x+y)}\right) \div \frac{x}{y} \]

Деление на дробь — это умножение на обратную дробь:

• \[ \frac{x}{y(x+y)} \times \frac{y}{x} \]

Сокращаем x и y:

• \[ \frac{\cancel{x}}{\cancel{y}(x+y)} \times \frac{\cancel{y}}{\cancel{x}} = \frac{1}{x+y} \]

Итак, упрощенное выражение равно $$\frac{1}{x+y}$$.

Шаг 2: Находим значение выражения

Теперь подставим данные значения \(x=1\) и \(y=-0.8\) в упрощенное выражение:

• \[ \frac{1}{x+y} = \frac{1}{1 + (-0.8)} = \frac{1}{1 - 0.8} = \frac{1}{0.2} \]

Чтобы разделить на десятичную дробь, можно умножить числитель и знаменатель на 10:

• \[ \frac{1}{0.2} = \frac{1 \times 10}{0.2 \times 10} = \frac{10}{2} = 5 \]

Итоговый ответ

Ответ: 5