Simplify the expression: $$ \frac{5^6 \cdot 125}{25^4} $$

Решение:

Для упрощения выражения представим все числа в виде степеней числа 5:

1. \( 125 = 5^3 \)
2. \( 25 = 5^2 \)

Теперь подставим эти значения в исходное выражение:

\[ \frac{5^6 \cdot 5^3}{(5^2)^4} \]

Используем свойства степеней:

• При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
• При возведении степени в степень показатели перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).

Применим эти свойства:

\[ \frac{5^{6+3}}{5^{2 \cdot 4}} = \frac{5^9}{5^8} \]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[ 5^{9-8} = 5^1 \]

Следовательно, результат упрощения:

\[ 5^1 = 5 \]

Итоговое решение:

\( \frac{5^6 \cdot 125}{25^4} = \frac{5^6 \cdot 5^3}{(5^2)^4} = \frac{5^{6+3}}{5^{2\cdot 4}} = \frac{5^9}{5^8} = 5^{9-8} = 5^1 = 5 \)

Ответ: 5