Simplify the expression: $$\frac{46}{5-\sqrt{2}} - \frac{12}{4-2\sqrt{3}} - \sqrt{2}(2-3\sqrt{6})$$

Решение:

1. Рационализируем первый дробь:
   \(\frac{46}{5-\sqrt{2}} = \frac{46(5+\sqrt{2})}{(5-\sqrt{2})(5+\sqrt{2})} = \frac{46(5+\sqrt{2})}{25-2} = \frac{46(5+\sqrt{2})}{23} = 2(5+\sqrt{2}) = 10 + 2\sqrt{2}\)
2. Рационализируем вторую дробь:
   \(\frac{12}{4-2\sqrt{3}} = \frac{12(4+2\sqrt{3})}{(4-2\sqrt{3})(4+2\sqrt{3})} = \frac{12(4+2\sqrt{3})}{16 - 4 \cdot 3} = \frac{12(4+2\sqrt{3})}{16 - 12} = \frac{12(4+2\sqrt{3})}{4} = 3(4+2\sqrt{3}) = 12 + 6\sqrt{3}\)
3. Раскроем скобки в третьем члене:
   \(\sqrt{2}(2-3\sqrt{6}) = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{12} = 2\sqrt{2} - 3\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{2} - 3 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{3}\)
4. Подставим полученные выражения в исходное:
   \((10 + 2\sqrt{2}) - (12 + 6\sqrt{3}) - (2\sqrt{2} - 6\sqrt{3})\)
5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
   \(10 + 2\sqrt{2} - 12 - 6\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 6\sqrt{3}\)
   \((10-12) + (2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}) + (-6\sqrt{3} + 6\sqrt{3})\)
   \(-2 + 0 + 0 = -2\)

Ответ: -2.