Simplify the expression: $$ \frac{3^{-1}}{3^2 \cdot 3^{-7}} $$

Решение:

Для упрощения выражения воспользуемся свойствами степеней.

1. Сначала упростим знаменатель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).


2. \( 3^2 \cdot 3^{-7} = 3^{2 + (-7)} = 3^{2-7} = 3^{-5} \).


3. Теперь выражение выглядит так: \( \frac{3^{-1}}{3^{-5}} \).


4. Далее используем правило деления степеней с одинаковым основанием: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).


5. \( \frac{3^{-1}}{3^{-5}} = 3^{-1 - (-5)} = 3^{-1 + 5} = 3^4 \).


6. Вычислим значение \( 3^4 \).


7. \( 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 = 81 \).

Ответ: 81