Simplify the expression: \(\frac{2}{\sqrt{3}+1}\)

Решение:

Чтобы упростить дробь, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю, то есть на \( \sqrt{3}-1 \):

\[ \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2 \cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) \cdot (\sqrt{3}-1)} \]

В знаменателе используем формулу разности квадратов \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \):

\[ (\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) = (\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2 \]

Теперь подставим полученное значение в дробь:

\[ \frac{2 \cdot (\sqrt{3}-1)}{2} \]

Сократим дробь:

\[ \sqrt{3}-1 \]

Ответ: \(\sqrt{3}-1\)