Simplify the expression: \(\frac{18^n}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} =\)

Решение:

1. Разложим число 18 на простые множители: \( 18 = 2 \cdot 3^2 \).
2. Подставим разложение в числитель: \( 18^n = (2 \cdot 3^2)^n = 2^n \cdot (3^2)^n = 2^n \cdot 3^{2n} \).
3. Теперь подставим это в исходное выражение: \[ \frac{2^n \cdot 3^{2n}}{2^{n+1} \cdot 3^{2n-1}} \]
4. Используем свойства степеней \( \frac{a^m}{a^p} = a^{m-p} \): \[ 2^{n - (n+1)} \cdot 3^{2n - (2n-1)} \]
5. Упростим показатели степеней: \[ 2^{n-n-1} \cdot 3^{2n-2n+1} = 2^{-1} \cdot 3^1 \]
6. Представим \( 2^{-1} \) как \( \frac{1}{2} \) и вычислим: \[ \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} \]

Ответ: \( \frac{3}{2} \).