Simplify the expression: (4/(x^2-4) + 1/(2-x)) * (x^2+4x+4)/3

Решение:

Для упрощения выражения, сначала приведём дроби в скобках к общему знаменателю.

1. Разложим знаменатель первой дроби на множители: \( x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \).
2. Заметим, что \( 2 - x = -(x - 2) \).
3. Приведём вторую дробь к знаменателю \( (x - 2)(x + 2) \):
   \( \frac{1}{2-x} = \frac{1}{-(x-2)} = \frac{-1}{x-2} = \frac{-1(x+2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{-x-2}{(x-2)(x+2)} \)
4. Теперь сложим дроби в скобках:
   \( \frac{4}{(x-2)(x+2)} + \frac{-x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{4 - x - 2}{(x-2)(x+2)} = \frac{2 - x}{(x-2)(x+2)} \)
5. Упростим полученную дробь:
   \( \frac{2 - x}{(x-2)(x+2)} = \frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)} = \frac{-1}{x+2} \)
6. Теперь умножим результат на вторую дробь:
   \( \left( \frac{-1}{x+2} \right) \cdot \frac{x^2 + 4x + 4}{3} \)
7. Разложим числитель второй дроби: \( x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2 \)
8. Выполним умножение:
   \( \frac{-1}{x+2} \cdot \frac{(x+2)^2}{3} = \frac{-1 \cdot (x+2)^2}{(x+2) \cdot 3} \)
9. Сократим \( (x+2) \):
   \( \frac{-1 \cdot (x+2)}{3} = \frac{-(x+2)}{3} = \frac{-x-2}{3} \)

Ответ: \( \frac{-x-2}{3} \)