Симметричную монету бросают три раза. Известно, что решка выпала ровно 1 раз. Найдите вероятность того, что в первый раз выпал орёл.

Решение:

1. Определим общее количество исходов при броске монеты три раза. Каждый бросок имеет 2 исхода (орёл или решка), поэтому общее число исходов равно $$2^3 = 8$$.
2. Определим исходы, где решка выпала ровно 1 раз. Это может произойти в следующих случаях: РОО, ОРО, ООР. Таким образом, таких исходов 3.
3. Определим исходы, где в первый раз выпал орёл И решка выпала ровно 1 раз. Из предыдущего пункта, это случаи ОРО и ООР. Таких исходов 2.
4. Рассчитаем условную вероятность: $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$, где A - событие "в первый раз выпал орёл", B - событие "решка выпала ровно 1 раз".
5. P(A \cap B) = \frac{\text{количество благоприятных исходов}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{2}{8}
6. P(B) = \frac{\text{количество исходов с 1 решкой}}{\text{общее количество исходов}} = \frac{3}{8}
7. \[ P(\text{первый орёл} | \text{ровно 1 решка}) = \frac{2/8}{3/8} = \frac{2}{3} \]

Ответ: 2/3