Школьники получили задание составить план ботанического сада. Размеры сада составляют 800 м х 500 м. План надо начертить на альбомном листе размером 31 см х 21 см. Какой масштаб надо использовать ребятам, чтобы показать сад на плане как можно крупнее и он поместился на листе весь целиком? Выберите верный ответ.

Привет! Давай разберемся с этим заданием по масштабу.

Что у нас есть:

• Реальные размеры сада: 800 м (длина) и 500 м (ширина).
• Размеры листа бумаги (альбомного): 31 см (длина) и 21 см (ширина).

Наша задача: Найти такой масштаб, чтобы сад поместился на листе, и при этом был изображен как можно крупнее.

Чтобы сад поместился, нам нужно, чтобы длина сада в реальных метрах, переведенная в сантиметры по масштабу, была не больше 31 см, а ширина сада – не больше 21 см.

Сначала переведем размеры сада в сантиметры:

Длина: 800 м * 100 см/м = 80 000 см

Ширина: 500 м * 100 см/м = 50 000 см

Теперь попробуем посчитать масштабы для каждой стороны отдельно:

1. Для длины:
• Если мы хотим, чтобы 80 000 см соответствовали 31 см на бумаге, то масштаб будет:

$$ \text{Масштаб}_\text{длина} = \frac{\text{размер на плане}}{\text{реальный размер}} = \frac{31 \text{ см}}{80 000 \text{ см}} $$

• Если мы хотим, чтобы 80 000 см соответствовали 21 см на бумаге, то масштаб будет:

$$ \text{Масштаб}_\text{длина} = \frac{21 \text{ см}}{80 000 \text{ см}} $$

2. Для ширины:
• Если мы хотим, чтобы 50 000 см соответствовали 31 см на бумаге, то масштаб будет:

$$ \text{Масштаб}_\text{ширина} = \frac{31 \text{ см}}{50 000 \text{ см}} $$

• Если мы хотим, чтобы 50 000 см соответствовали 21 см на бумаге, то масштаб будет:

$$ \text{Масштаб}_\text{ширина} = \frac{21 \text{ см}}{50 000 \text{ см}} $$

Чтобы сад поместился целиком, нам нужно выбрать такой масштаб, который подойдет для обеих сторон. Это значит, что и длина, и ширина сада, умноженные на этот масштаб, должны быть меньше или равны размерам листа.

Давай посмотрим на отношение размеров:

Отношение сторон сада: $$800 / 500 = 1.6$$

Отношение сторон листа: $$31 / 21 ≈ 1.48$$

Видишь? Стороны сада относятся друг к другу немного иначе, чем стороны листа. Лист немного «квадратнее», чем сад.

Чтобы сад поместился, нам нужно, чтобы самая большая сторона сада (800 м) поместилась в самую большую сторону листа (31 см), а самая маленькая сторона сада (500 м) — в самую маленькую сторону листа (21 см). Иначе, при другом расположении, одна из сторон может не поместиться.

Попробуем рассчитать масштаб, исходя из того, что 800 м должны уместиться в 31 см:

$$ \text{Масштаб} = \frac{31 \text{ см}}{800 \text{ м}} = \frac{31 \text{ см}}{80 000 \text{ см}} = \frac{1}{80000/31} ≈ \frac{1}{2580} $$

Теперь проверим, поместится ли ширина 500 м при таком масштабе на 21 см:

$$ 500 \text{ м} \times \frac{1}{2580} = 50 000 \text{ см} \times \frac{1}{2580} ≈ 19.38 \text{ см} $$

19.38 см < 21 см. Отлично! Сад помещается.

Теперь попробуем рассчитать масштаб, исходя из того, что 500 м должны уместиться в 21 см (чтобы сделать сад как можно крупнее):

$$ \text{Масштаб} = \frac{21 \text{ см}}{500 \text{ м}} = \frac{21 \text{ см}}{50 000 \text{ см}} = \frac{1}{50000/21} ≈ \frac{1}{2381} $$

Проверим, поместится ли длина 800 м при таком масштабе на 31 см:

$$ 800 \text{ м} \times \frac{1}{2381} = 80 000 \text{ см} \times \frac{1}{2381} ≈ 33.6 \text{ см} $$

33.6 см > 31 см. Не помещается! Значит, этот масштаб слишком большой.

Вывод: Нам нужно выбрать масштаб, который позволит поместиться обеим сторонам. Наибольший возможный масштаб (чтобы сад был как можно крупнее) мы получили, когда ориентировались на длину сада и ширину листа: $$1:2580$$.

Ответ: Масштаб 1:2580