(10) Школьника попросили определить массу одного шурупа и выдали для этого 20 одинаковых шурупов, рычажные весы и набор гирек. Оказалось, что самая лёгкая гирька в наборе имела массу 10 г, а шуруп был ещё легче. Школьник провёл несколько опытов и выяснил, что если на одну чашу весов положить пять шурупов, то они перевешивают гирю массой 10 г, но легче, чем гиря массой 20 г. Если положить на чашу весов 10 шурупов, то они легче, чем гири массой 40 г, но тяжелее, чем гири массой 30 г. А если положить 20 шурупов, то они тяжелее 60 г, но легче 70 г. 1) Определите границы величины массы одного шурупа по результатам каждого из трёх экспериментов. Ответ округлите до десятых. 2) Оцените, в каком из экспериментов точность определения масса одного шурупа будет выше. 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить массу шурупа с наибольшей точностью, найдите объём одного шурупа (в см³) и оцените его погрешность. Считайте, что плотность шурупа равна 8700 кг/м³ точно. Ответ округлите до сотых. Напишите полное решение этой задачи.

Решение:

1) Определение границ массы одного шурупа по результатам каждого из трёх экспериментов:

• Первый эксперимент: 5 шурупов перевешивают 10 г, но легче 20 г.
• Значит, масса 5 шурупов находится в диапазоне от 10 г до 20 г.
• Масса одного шурупа:

\[\frac{10}{5} < m_1 < \frac{20}{5}\]

\[2 < m_1 < 4 \text{ г}\]

• Второй эксперимент: 10 шурупов легче 40 г, но тяжелее 30 г.
• Значит, масса 10 шурупов находится в диапазоне от 30 г до 40 г.
• Масса одного шурупа:

\[\frac{30}{10} < m_2 < \frac{40}{10}\]

\[3 < m_2 < 4 \text{ г}\]

• Третий эксперимент: 20 шурупов тяжелее 60 г, но легче 70 г.
• Значит, масса 20 шурупов находится в диапазоне от 60 г до 70 г.
• Масса одного шурупа:

\[\frac{60}{20} < m_3 < \frac{70}{20}\]

\[3 < m_3 < 3.5 \text{ г}\]

2) Оценка точности определения массы одного шурупа:

• Точность определения массы шурупа выше в третьем эксперименте, так как в нём используется большее количество шурупов (20 штук), что позволяет уменьшить погрешность измерения.

3) Определение объёма одного шурупа:

• Используем результаты третьего измерения, как наиболее точного.
• Средняя масса одного шурупа:

\[m = \frac{3 + 3.5}{2} = 3.25 \text{ г} = 0.00325 \text{ кг}\]

• Плотность шурупа:

\[\rho = 8700 \text{ кг/м}^3\]

• Объём одного шурупа:

\[V = \frac{m}{\rho} = \frac{0.00325}{8700} = 3.7356 \cdot 10^{-7} \text{ м}^3\]

• Переведём в см³:

\[V = 3.7356 \cdot 10^{-7} \cdot 10^6 = 0.37356 \text{ см}^3\]

• Округлим до сотых:

\[V \approx 0.37 \text{ см}^3\]

• Оценка погрешности:

\[\Delta m = \frac{3.5 - 3}{2} = 0.25 \text{ г}\]

\[\frac{\Delta m}{m} = \frac{0.25}{3.25} \approx 0.0769 \approx 7.7 \%\]

Ответ:

• Границы массы: 2 < m₁ < 4 г; 3 < m₂ < 4 г; 3 < m₃ < 3.5 г.
• Точность выше в третьем эксперименте.
• Объём шурупа: 0.37 см³, погрешность 7.7%.