Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз дешевле, авторучка - в 2 раза дешевле, а книга - в 2,5 раза дешевле, чем на самом деле, то та же покупка стоила бы 8 руб. Если бы портфель стоил в 2 раза дешевле, авторучка - в 4 раза дешевле, а книга - в 3 раза дешевле, то за ту же покупку школьник уплатил бы 12 руб. Сколько стоит вся покупка?

Решение:

Обозначим стоимость портфеля как \( P \), авторучки как \( A \), а книги как \( K \). Сумма, которую заплатил школьник, равна \( P + A + K \).

Условие 1:

\( \frac{P}{5} + \frac{A}{2} + \frac{K}{2.5} = 8 \)

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы избавиться от дробей:

\( 2P + 5A + 4K = 80 \) (Уравнение 1)

Условие 2:

\( \frac{P}{2} + \frac{A}{4} + \frac{K}{3} = 12 \)

Умножим обе части уравнения на 12, чтобы избавиться от дробей:

\( 6P + 3A + 4K = 144 \) (Уравнение 2)

Вычтем Уравнение 1 из Уравнения 2:

\( (6P + 3A + 4K) - (2P + 5A + 4K) = 144 - 80 \)

\( 4P - 2A = 64 \)

Разделим на 2:

\( 2P - A = 32 \) (Уравнение 3)

Из Уравнения 3 выразим \( A \):

\( A = 2P - 32 \)

Подставим \( A \) в Уравнение 1:

\( 2P + 5(2P - 32) + 4K = 80 \)

\( 2P + 10P - 160 + 4K = 80 \)

\( 12P + 4K = 240 \)

Разделим на 4:

\( 3P + K = 60 \) (Уравнение 4)

Теперь подставим \( A \) в Уравнение 2:

\( 6P + 3(2P - 32) + 4K = 144 \)

\( 6P + 6P - 96 + 4K = 144 \)

\( 12P + 4K = 240 \)

Разделим на 4:

\( 3P + K = 60 \) (Уравнение 5)

Уравнения 4 и 5 идентичны. Это означает, что мы можем найти стоимость покупки, если найдем \( P \) и \( K \) из одного уравнения, но нам нужно ещё одно независимое уравнение. Вернёмся к исходным условиям. Проверим, что мы можем найти сумму \( P + A + K \).

Рассмотрим следующую комбинацию Уравнения 1 и Уравнения 2. Умножим Уравнение 1 на 3 и Уравнение 2 на 5:

\( 3 \times (2P + 5A + 4K = 80) \implies 6P + 15A + 12K = 240 \) (Уравнение 6)

\( 5 \times (6P + 3A + 4K = 144) \implies 30P + 15A + 20K = 720 \) (Уравнение 7)

Вычтем Уравнение 6 из Уравнения 7:

\( (30P + 15A + 20K) - (6P + 15A + 12K) = 720 - 240 \)

\( 24P + 8K = 480 \)

Разделим на 8:

\( 3P + K = 60 \) (Уравнение 8)

Это опять та же информация. Обратим внимание на то, что коэффициенты при \( K \) в Уравнениях 1 и 2 одинаковы (4). Это означает, что мы можем выразить \( P \) и \( A \) через \( K \) или выразить \( K \) через \( P \) и \( A \).

Перепишем Уравнение 1:

\( 2P + 5A = 80 - 4K \)

Перепишем Уравнение 2:

\( 6P + 3A = 144 - 4K \)

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными \( P \) и \( A \), где \( K \) является параметром.

Умножим первое уравнение на 3:

\( 6P + 15A = 240 - 12K \)

Вычтем второе уравнение \( (6P + 3A = 144 - 4K) \) из этого:

\( (6P + 15A) - (6P + 3A) = (240 - 12K) - (144 - 4K) \)

\( 12A = 96 - 8K \)

Разделим на 4:

\( 3A = 24 - 2K \)

\( A = 8 - \frac{2}{3}K \)

Теперь найдем \( P \). Из \( 3P + K = 60 \), выразим \( K = 60 - 3P \). Подставим это в \( A = 8 - \frac{2}{3}K \):

\( A = 8 - \frac{2}{3}(60 - 3P) \)

\( A = 8 - 40 + 2P \)

\( A = 2P - 32 \) (Уравнение 3, проверено)

Подставим \( A = 2P - 32 \) в Уравнение 1:

\( 2P + 5(2P - 32) + 4K = 80 \)

\( 2P + 10P - 160 + 4K = 80 \)

\( 12P + 4K = 240 \)

\( 3P + K = 60 \) (Уравнение 4, проверено)

Поскольку мы получили две идентичные зависимости \( 3P + K = 60 \) и \( A = 2P - 32 \), это означает, что система имеет бесконечное множество решений для \( P, A, K \). Однако, нам нужно найти конкретную сумму \( P + A + K \).

Давайте предположим, что \( P, A, K \) — целые числа. Нам нужно найти целые \( P, A, K \), удовлетворяющие условиям.

Из \( 3P + K = 60 \), если \( P = 10 \), то \( K = 30 \). Тогда \( A = 2(10) - 32 = 20 - 32 = -12 \). Стоимость не может быть отрицательной.

Из \( 3P + K = 60 \), если \( P = 15 \), то \( K = 15 \). Тогда \( A = 2(15) - 32 = 30 - 32 = -2 \). Стоимость не может быть отрицательной.

Из \( 3P + K = 60 \), если \( P = 20 \), то \( K = 0 \). Тогда \( A = 2(20) - 32 = 40 - 32 = 8 \). Стоимость \( P=20, A=8, K=0 \). Сумма \( 20+8+0 = 28 \). Проверим:

Условие 1: \( 20/5 + 8/2 + 0/2.5 = 4 + 4 + 0 = 8 \). Верно.

Условие 2: \( 20/2 + 8/4 + 0/3 = 10 + 2 + 0 = 12 \). Верно.

Сумма покупки = \( P + A + K = 20 + 8 + 0 = 28 \) руб.

Рассмотрим другой вариант. Если \( P = 18 \), то \( K = 60 - 3(18) = 60 - 54 = 6 \). Тогда \( A = 2(18) - 32 = 36 - 32 = 4 \). Стоимость \( P=18, A=4, K=6 \). Сумма \( 18+4+6 = 28 \). Проверим:

Условие 1: \( 18/5 + 4/2 + 6/2.5 = 3.6 + 2 + 2.4 = 8 \). Верно.

Условие 2: \( 18/2 + 4/4 + 6/3 = 9 + 1 + 2 = 12 \). Верно.

Сумма покупки = \( P + A + K = 18 + 4 + 6 = 28 \) руб.

В любом случае, сумма покупки равна 28 руб.

Ответ: 28 руб.