шите неравенство 16x² - 24x + 9 / 4x² + x - 3 ≤ 0. Решение.

Давай решим это неравенство вместе!

Нам нужно решить неравенство:

\[ \frac{16x^2 - 24x + 9}{4x^2 + x - 3} \le 0 \]

Сначала разложим числитель и знаменатель на множители.

1. Разложим числитель:

Числитель \( 16x^2 - 24x + 9 \) — это полный квадрат:

\[ (4x - 3)^2 \]

2. Разложим знаменатель:

Для знаменателя \( 4x^2 + x - 3 \) найдём корни квадратного уравнения \( 4x^2 + x - 3 = 0 \).

Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} \]

Теперь знаменатель можно записать как:

\[ 4(x - (-1))(x - \frac{3}{4}) = 4(x + 1)(x - \frac{3}{4}) = (x + 1)(4x - 3) \]

3. Перепишем неравенство:

Теперь наше неравенство выглядит так:

\[ \frac{(4x - 3)^2}{(x + 1)(4x - 3)} \le 0 \]

Важно! Знаменатель не должен быть равен нулю, то есть \( x
e -1 \) и \( x
e \frac{3}{4} \).

Сократим \( (4x - 3) \) (при условии \( 4x - 3
e 0 \)):

\[ \frac{4x - 3}{x + 1} \le 0 \]

4. Решим неравенство методом интервалов:

Найдем корни числителя и знаменателя:

• Числитель: \( 4x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{4} \)
• Знаменатель: \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \)

Отметим эти точки на числовой прямой. Точка \( x = -1 \) — выколотая (знаменатель не может быть равен нулю). Точка \( x = \frac{3}{4} \) — выколотая, так как мы сократили \( (4x - 3) \), но при \( x = \frac{3}{4} \) исходное выражение не определено.

Расставим знаки:

• Интервал \( (\frac{3}{4}, +\infty) \): возьмем \( x=1 \). \( \frac{4(1) - 3}{1 + 1} = \frac{1}{2} > 0 \)
• Интервал \( (-1, \frac{3}{4}) \): возьмем \( x=0 \). \( \frac{4(0) - 3}{0 + 1} = \frac{-3}{1} < 0 \)
• Интервал \( (-\infty, -1) \): возьмем \( x=-2 \). \( \frac{4(-2) - 3}{-2 + 1} = \frac{-11}{-1} > 0 \)

Нам нужны значения, где дробь меньше или равна нулю. Это интервал \( (-1, \frac{3}{4}) \).

5. Исключим случай, когда \( 4x - 3 = 0 \):

Мы должны учесть, что \( x = \frac{3}{4} \) не входит в решение, так как в исходном выражении знаменатель обращается в ноль.

Однако, если \( 4x - 3 = 0 \), то есть \( x = \frac{3}{4} \), числитель \( (4x - 3)^2 \) равен нулю. Исходное неравенство \( \frac{0}{0} \) не определено. Если бы знаменатель не был равен нулю, то \( x = \frac{3}{4} \) был бы решением (так как \( 0 \le 0 \)).

Итак, решение неравенства \( \frac{4x - 3}{x + 1} \le 0 \) — это интервал \( (-1, \frac{3}{4}) \).

Ответ: \( x \in (-1; \frac{3}{4}) \).