Шерлок Холмс за час раскрывает целое число преступлений, большее 7, а доктор Ватсон — на 3 преступления меньше. Холмс выполняет суточную норму раскрытия преступлений за целое число часов, а трое полицейских (инспектор Лестрейд и двое сержантов) с производительностью Ватсона делают ту же работу на 1 час быстрее. Сколько преступлений раскрывает Холмс за сутки?

Пусть Холмс раскрывает за час x преступлений, а суточную норму выполняет за h часов. Тогда Ватсон раскрывает за час x − 3 преступления, а трое полицейских вместе — 3(x − 3) преступления в час.

Холмс раскрывает за сутки xh преступлений. Полицейские выполняют ту же работу за h − 1 час, поэтому:

\(xh=3(x-3)(h-1)\).

Раскроем скобки и выразим h:

\(xh=3(x-3)h-3(x-3)\), значит \((2x-9)h=3x-9\), откуда \(h=\frac{3x-9}{2x-9}\).

Так как целое \(x>7\), то при \(x=8\) получаем \(h=\frac{15}{7}\), что не является целым числом. При \(x=9\) получаем \(h=2\). Для всех целых \(x>9\) значение \(h\) находится строго между 1 и 2, поэтому целым быть не может.

Значит, Холмс раскрывает за час 9 преступлений и работает 2 часа.

\(9\cdot2=18\).

Ответ: 18 преступлений.