Шар вписан в равносторонний конус. Найдите отношение площади боковой поверхности конуса к площади поверхности шара, если радиус основания конуса равен 3.

Привет! Давай решим эту задачу по геометрии вместе.

\( \)

\( \)

Рассмотрим равносторонний конус, в который вписан шар. Нам нужно найти отношение площади боковой поверхности конуса к площади поверхности шара, зная радиус основания конуса.

\( \)

1. Обозначения:

\( \)

\( R \) - радиус основания конуса

\( r \) - радиус вписанного шара

\( \)

2. Свойства равностороннего конуса:

\( \)

В равностороннем конусе образующая равна диаметру основания, то есть \( L = 2R \).

\( \)

3. Радиус вписанного шара:

\( \)

В равностороннем конусе радиус вписанного шара равен половине радиуса основания конуса:

\( r = \frac{R}{2} \)

По условию, радиус основания конуса \( R = 3 \), тогда:

\( r = \frac{3}{2} = 1.5 \)

\( \)

4. Площадь боковой поверхности конуса:

\( \)

Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле:

\( S_{\text{бок.кон}} = \pi R L \)

где \( L \) - образующая конуса. Так как конус равносторонний, \( L = 2R = 2 \times 3 = 6 \).

\( S_{\text{бок.кон}} = \pi \times 3 \times 6 = 18\pi \)

\( \)

5. Площадь поверхности шара:

\( \)

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

\( S_{\text{шара}} = 4\pi r^2 \)

Подставим значение радиуса шара \( r = 1.5 \):

\( S_{\text{шара}} = 4\pi (1.5)^2 = 4\pi \times 2.25 = 9\pi \)

\( \)

6. Отношение площади боковой поверхности конуса к площади поверхности шара:

\( \)

\( \frac{S_{\text{бок.кон}}}{S_{\text{шара}}} = \frac{18\pi}{9\pi} = 2 \)

\( \)

Таким образом, отношение площади боковой поверхности конуса к площади поверхности шара равно 2.

\( \)

Отлично, ты хорошо справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!