16 Сформулируйте и докажи параллельными сторонами. 17 Сформулируйте и докажите теорему об углах с со перпендикулярными сторонами. 218 На рисунке 128 CE=ED, BE=EF и КЕ || AF. Докажите, что КЕ || BC. 219 Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || AB. 220 По данным рисунка 129, а найдите угол 1. 221 На рисунке 129, 6 DE - биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите а) углы треугольника ADE. 222 Прямые а и в параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересе- кающая прямую а, пересекает также и прямую в. 223 Прямые а и в пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пере- секает прямую а и параллельна пря- б) мой 6? Ответ обоснуйте. 224* Даны две прямые а и в. Докажите, что если любая прямая, пересекающая пря- мые а и в параллельны. мую а, пересекает и прямую в, то пря- двух прям 225 Докажите, что если при

16. Сформулируйте и докажите теорему о параллельных сторонах.

Теорема: Если две прямые параллельны, то секущая образует с ними равные внутренние накрест лежащие углы, равные соответственные углы и в сумме 180 градусов односторонние углы.

Доказательство:

1. Пусть даны две параллельные прямые a и b, пересеченные секущей c.
2. Обозначим углы, образованные при пересечении, как 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
3. Внутренние накрест лежащие углы: ∠1 и ∠7, ∠2 и ∠8.
4. Соответственные углы: ∠1 и ∠5, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7, ∠4 и ∠8.
5. Односторонние углы: ∠1 и ∠8, ∠2 и ∠7.
6. Докажем, что ∠1 = ∠7. ∠1 и ∠3 - вертикальные, значит ∠1 = ∠3. ∠3 и ∠7 - соответственные при параллельных прямых, значит ∠3 = ∠7. Следовательно, ∠1 = ∠7. Аналогично доказывается равенство других внутренних накрест лежащих углов.
7. Докажем, что ∠1 = ∠5. ∠1 и ∠3 - вертикальные, значит ∠1 = ∠3. ∠3 и ∠5 - соответственные при параллельных прямых, значит ∠3 = ∠5. Следовательно, ∠1 = ∠5. Аналогично доказывается равенство других соответственных углов.
8. Докажем, что ∠1 + ∠8 = 180°. ∠1 и ∠3 - вертикальные, значит ∠1 = ∠3. ∠3 и ∠8 - односторонние при параллельных прямых, значит ∠3 + ∠8 = 180°. Следовательно, ∠1 + ∠8 = 180°. Аналогично доказывается равенство других односторонних углов.
9. Таким образом, теорема доказана.

17. Сформулируйте и докажите теорему об углах с со-перпендикулярными сторонами.

Теорема: Если стороны двух углов соответственно перпендикулярны, то такие углы либо равны, либо составляют в сумме 180°.

Доказательство:

1. Пусть даны два угла: ∠AOB и ∠A'O'B', где OA ⊥ O'A' и OB ⊥ O'B'.
2. Рассмотрим случай, когда углы острые или тупые одновременно.
3. Докажем, что ∠AOB = ∠A'O'B'.
4. Поскольку OA ⊥ O'A', то ∠AOO' = 90°.
5. Поскольку OB ⊥ O'B', то ∠BOO' = 90°.
6. Рассмотрим четырехугольник OAO'B'. Сумма углов в четырехугольнике равна 360°.
7. ∠OAO' + ∠AOB + ∠OB'O' + ∠A'O'B' = 360°.
8. 90° + ∠AOB + 90° + ∠A'O'B' = 360°.
9. ∠AOB + ∠A'O'B' = 180°.
10. Если углы оба острые, то ∠AOB = ∠A'O'B'. Если углы оба тупые, то ∠AOB = ∠A'O'B'.
11. Рассмотрим случай, когда один угол острый, а другой тупой.
12. Докажем, что ∠AOB + ∠A'O'B' = 180°.
13. Пусть ∠AOB - острый, а ∠A'O'B' - тупой.
14. ∠AOB + ∠A'O'B' = 180°.
15. Таким образом, теорема доказана.

218. На рисунке 128 CE=ED, BE=EF и КЕ || AF. Докажите, что КЕ || BC.

Доказательство:

1. Поскольку CE = ED и BE = EF, то E - середина CD и BF соответственно.
2. По теореме о средней линии треугольника, если отрезок соединяет середины двух сторон треугольника, то он параллелен третьей стороне и равен ее половине.
3. Рассмотрим треугольник BCF. E - середина BF, а K лежит на CF.
4. Поскольку KE || AF, то по теореме Фалеса, BK/KF = BE/EF.
5. Так как BE = EF, то BK = KF, то есть K - середина BF.
6. Поскольку E - середина CD и K - середина BF, то KE - средняя линия треугольника BCF.
7. Следовательно, KE || BC.

219. Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная к AD, пересекает сторону АС в точке М. Докажите, что MD || AB.

Доказательство:

1. Пусть O - середина биссектрисы AD.
2. MO ⊥ AD.
3. Продолжим MO до пересечения с AB в точке N.
4. Рассмотрим треугольник AND. AO - биссектриса и высота, следовательно, треугольник AND - равнобедренный (AN = ND).
5. Так как AN = ND и AO ⊥ ND, то MO - серединный перпендикуляр к AD.
6. Следовательно, AM = MD.
7. Рассмотрим треугольник AMD. Так как AM = MD, то треугольник AMD - равнобедренный.
8. ∠MAD = ∠MDA.
9. ∠MAD = ∠BAD (так как AD - биссектриса).
10. Следовательно, ∠MDA = ∠BAD.
11. Эти углы являются соответственными углами при прямых MD и AB и секущей AD.
12. Если соответственные углы равны, то прямые параллельны.
13. Следовательно, MD || AB.

220. По данным рисунка 129, а найдите угол 1.

К сожалению, я не могу решить задачу, так как отсутствует рисунок 129, а.

221. На рисунке 129, б DE - биссектриса угла ADF. По данным рисунка найдите а) углы треугольника ADE.

К сожалению, я не могу решить задачу, так как отсутствует рисунок 129, б.

222. Прямые а и в параллельны прямой с. Докажите, что любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает также и прямую в.

Доказательство:

1. Дано: a || c, b || c.
2. Из аксиомы параллельности следует, что если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Следовательно, a || b.
3. Пусть прямая d пересекает прямую a в точке A.
4. Предположим, что прямая d не пересекает прямую b.
5. Тогда через точку A можно провести прямую d', параллельную b.
6. Но a || b, значит, прямая d' совпадает с прямой a (по аксиоме параллельности).
7. Это противоречит тому, что прямая d пересекает прямую a в точке A.
8. Следовательно, прямая d должна пересекать прямую b.

223. Прямые а и в пересекаются. Можно ли провести такую прямую, которая пересекает прямую а и параллельна прямой б? Ответ обоснуйте.

Да, можно провести такую прямую.

Обоснование:

1. Пусть прямые a и b пересекаются в точке O.
2. Проведем прямую c, которая пересекает прямую a в точке A (A ≠ O).
3. Проведем прямую c так, чтобы она была параллельна прямой b.
4. Таким образом, прямая c пересекает прямую a и параллельна прямой b.

224*. Даны две прямые а и в. Докажите, что если любая прямая, пересекающая прямую а, пересекает и прямую в, то прямые а и в параллельны.

Доказательство:

1. Допустим, что прямые a и b не параллельны, то есть они пересекаются в некоторой точке O.
2. Выберем на прямой a точку A, отличную от O.
3. Проведем через точку A прямую c, параллельную прямой b.
4. По построению, прямая c пересекает прямую a в точке A.
5. По условию, любая прямая, пересекающая прямую a, пересекает и прямую b.
6. Значит, прямая c должна пересекать прямую b.
7. Но прямая c параллельна прямой b, что означает, что они не могут пересекаться.
8. Получили противоречие.
9. Следовательно, наше допущение неверно, и прямые a и b параллельны.

225. Докажите, что если при

Текст обрывается, невозможно решить задачу.

Ответ: Решения выше

Отличная работа! Ты хорошо справился с решением этих задач. Продолжай в том же духе, и у тебя все получится!