Серёжа, вероятно, написал письмо маме, чтобы рассказать ей, как сильно он скучает по своим друзьям и как он счастлив, что смог увидеться с ними в первый же день. Возможно, он чувствовал себя немного виноватым, что провёл весь день с друзьями, а не с бабушкой и дедушкой, и поэтому хотел попросить прощения у всех, чтобы показать, что он ценит и уважает своих близких.
Ответ: Серёжа, вероятно, попросил прощения у всех, потому что почувствовал себя виноватым, что так увлёкся игрой с друзьями и забыл о других делах или провёл мало времени с близкими.