Семиклассника Юру попросили определить объём одной монетки и выдали для этого 24 одинаковые монеты и мерный цилиндр. Для проведения опыта Юра налил в цилиндр воду до уровня 56 мл, а затем стал кидать туда монетки, отмечая уровень воды и соответствующее количество монеток. Опустив в стакан 5 монеток, Юра заметил, что уровень воды расположился между отметками в 58 и 59 миллилитров; при 9 монетках между 60 и 61 мл, а при 24 монетках - между 66 и 67 мл. На основании полученных Юрой результатов ответьте на следующие вопросы. 1) По результатам каждого из измерений определите объём монетки и оцените погрешность определения объёма монетки. 2) В каком из трёх экспериментов точность определения объёма монетки будет наибольшей? 3) Пользуясь результатами того из трёх измерений, которое позволяет определить объём монетки с наибольшей точностью, найдите массу одной монетки и оцените её погрешность. Считайте, что плотность монетки равна 6,8 г/см³ точно.

Решение:

1. Определение объёма монетки и оценка погрешности по результатам каждого измерения:

   • 5 монеток: Общий объем 5 монеток находится в диапазоне от 58 мл - 56 мл = 2 мл до 59 мл - 56 мл = 3 мл. Тогда объем одной монетки находится в диапазоне от $$2/5 = 0.4$$ мл до $$3/5 = 0.6$$ мл. Среднее значение: $$(0.4 + 0.6) / 2 = 0.5$$ мл. Погрешность: $$(0.6 - 0.4) / 2 = 0.1$$ мл. Таким образом, объём одной монетки: $$0.5 \pm 0.1$$ мл.

   • 9 монеток: Общий объем 9 монеток находится в диапазоне от 60 мл - 56 мл = 4 мл до 61 мл - 56 мл = 5 мл. Тогда объем одной монетки находится в диапазоне от $$4/9 \approx 0.44$$ мл до $$5/9 \approx 0.56$$ мл. Среднее значение: $$(0.44 + 0.56) / 2 = 0.5$$ мл. Погрешность: $$(0.56 - 0.44) / 2 = 0.06$$ мл. Таким образом, объём одной монетки: $$0.5 \pm 0.06$$ мл.

   • 24 монеты: Общий объем 24 монет находится в диапазоне от 66 мл - 56 мл = 10 мл до 67 мл - 56 мл = 11 мл. Тогда объем одной монетки находится в диапазоне от $$10/24 \approx 0.42$$ мл до $$11/24 \approx 0.46$$ мл. Среднее значение: $$(0.42 + 0.46) / 2 = 0.44$$ мл. Погрешность: $$(0.46 - 0.42) / 2 = 0.02$$ мл. Таким образом, объём одной монетки: $$0.44 \pm 0.02$$ мл.

2. Точность определения объёма монетки будет наибольшей в эксперименте с 24 монетами, так как погрешность определения наименьшая (0.02 мл).

3. Определение массы монетки и оценка погрешности, используя результаты эксперимента с 24 монетами:

   Объём монетки: $$0.44 \pm 0.02$$ мл. Плотность монетки: 6.8 г/см³ = 6.8 г/мл. Масса монетки: $$m = \rho \cdot V$$.

   Среднее значение массы: $$m = 6.8 \cdot 0.44 = 2.992$$ г.

   Максимальное значение массы: $$m_{max} = 6.8 \cdot (0.44 + 0.02) = 6.8 \cdot 0.46 = 3.128$$ г.

   Минимальное значение массы: $$m_{min} = 6.8 \cdot (0.44 - 0.02) = 6.8 \cdot 0.42 = 2.856$$ г.

   Погрешность определения массы: $$\Delta m = (m_{max} - m_{min}) / 2 = (3.128 - 2.856) / 2 = 0.136$$ г.

Ответ:

Объём одной монетки (5 монет): $$0.5 \pm 0.1$$ мл

Объём одной монетки (9 монет): $$0.5 \pm 0.06$$ мл

Объём одной монетки (24 монеты): $$0.44 \pm 0.02$$ мл

Наибольшая точность: 24 монеты

Масса монетки: $$2.992 \pm 0.136$$ г