Самостоятельные работы ВАРИАНТ 3 1. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда BD. Определите периметр треугольника BOD, если AB=8, BD=3,5. 2. Точка О — центр окружности. Докажите, что ΔΑΟΒ = ΔDOC, если известно, что хорды АВ и CD равны. 3. В окружности проведены диаметры МР и DF. Дока- жите, что хорды MD и PF равны. ВАРИАНТ 4 1. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда BD. Определите периметр треугольника BOD, если AB=7, BD=2,5. 2. Точка О — центр окружности. Докажите, что ΔΑΟΒ = ΔDOC, если точки А, В, С и Д лежат на окружно- сти и ∠AOB=∠COD. 3. В окружности проведены диаметры МР и DF. Дока- жите, что ∠MFD = ∠PDF. 28

Задачи из учебника:

Вариант 3

1. Задача 1:
• Условие: В окружности с центром О проведены диаметр AB и хорда BD. Определите периметр треугольника BOD, если AB=8, BD=3,5.
• Решение: Поскольку AB — диаметр, то угол ADB равен 90 градусам (опирается на диаметр). Треугольник ABD — прямоугольный. OD и OB — радиусы окружности, значит OD = OB. Треугольник BOD — равнобедренный. Для нахождения периметра треугольника BOD нужно знать длину стороны OD (радиус) и длину хорды BD. Радиус окружности равен половине диаметра: R = AB/2 = 8/2 = 4. Таким образом, OD = OB = 4. Периметр треугольника BOD = OB + OD + BD = 4 + 4 + 3,5 = 11,5.
• Ответ: Периметр треугольника BOD равен 11,5.
2. Задача 2:
• Условие: Точка О — центр окружности. Докажите, что ΔAOB = ΔDOC, если известно, что хорды AB и CD равны.
• Доказательство:
• 1. Равные хорды: По условию, хорды AB и CD равны.
• 2. Радиусы: OA, OB, OC, OD — радиусы окружности, поэтому OA = OB = OC = OD.
• 3. Треугольники: Рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔDOC.
• • AB = CD (по условию).
  • OA = OD (как радиусы).
  • OB = OC (как радиусы).
• 4. Признак равенства: По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), ΔAOB = ΔDOC.
3. Задача 3:
• Условие: В окружности проведены диаметры MP и DF. Докажите, что хорды MD и PF равны.
• Доказательство:
• 1. Диаметры: MP и DF — диаметры окружности.
• 2. Центр: Точка пересечения диаметров — центр окружности O.
• 3. Вертикальные углы: Углы ∠MOD и ∠POF являются вертикальными, следовательно, они равны: ∠MOD = ∠POF.
• 4. Радиусы: OM = OP = OD = OF (все являются радиусами).
• 5. Треугольники: Рассмотрим треугольники ΔMOD и ΔPOF.
• • OM = OP (как радиусы).
  • OD = OF (как радиусы).
  • ∠MOD = ∠POF (вертикальные углы).
• 6. Признак равенства: По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), ΔMOD = ΔPOF.
• 7. Равные хорды: Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников равны: MD = PF.

Вариант 4

1. Задача 1:
• Условие: В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда BD. Определите периметр треугольника BOD, если AB=7, BD=2,5.
• Решение: Диаметр AB = 7, значит радиус R = AB/2 = 7/2 = 3,5. OB и OD — радиусы, поэтому OB = OD = 3,5. Периметр треугольника BOD = OB + OD + BD = 3,5 + 3,5 + 2,5 = 9,5.
• Ответ: Периметр треугольника BOD равен 9,5.
2. Задача 2:
• Условие: Точка О — центр окружности. Докажите, что ΔAOB = ΔDOC, если точки А, В, С и Д лежат на окружности и ∠AOB=∠COD.
• Доказательство:
• 1. Радиусы: OA, OB, OC, OD — радиусы окружности, поэтому OA = OB = OC = OD.
• 2. Равные центральные углы: По условию, ∠AOB = ∠COD.
• 3. Треугольники: Рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔDOC.
• • OA = OD (как радиусы).
  • OB = OC (как радиусы).
  • ∠AOB = ∠COD (по условию).
• 4. Признак равенства: По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), ΔAOB = ΔDOC.
3. Задача 3:
• Условие: В окружности проведены диаметры МР и DF. Докажите, что ∠MFD = ∠PDF.
• Доказательство:
• 1. Диаметры: MP и DF — диаметры окружности.
• 2. Точка пересечения: Они пересекаются в центре окружности O.
• 3. Равные треугольники: Из условия задачи 3 для Варианта 3 мы знаем, что ΔMOD = ΔPOF. Это означает, что MD = PF и ∠OMD = ∠OPF, ∠ODM = ∠OFP.
• 4. Диаметры и углы: Поскольку DF — диаметр, то угол ∠DFF является вписанным, опирающимся на диаметр DF. Таким образом, ∠DFF = 90 градусов. Аналогично, ∠MDM = 90 градусов.
• 5. Рассмотрение треугольников: Рассмотрим треугольники ΔMFD и ΔPDF.
• • MD = PF (доказано ранее).
  • FD — общая сторона.
  • ∠MFD и ∠PDF:
  • Рассмотрим треугольники ΔMDF и ΔPFD.
  • • ∠MDF и ∠PFD являются вписанными углами, опирающимися на дуги MF и PD соответственно.
    • Так как MP и DF — диаметры, то дуга MF = дуга PD (вертикальные центральные углы ∠MOF = ∠POD).
    • Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны: ∠MDF = ∠PFD.
  • Вторая сторона:
  • Рассмотрим треугольники ΔMFD и ΔPDF
  • • MF и PD являются хордами.
    • ∠MDF и ∠PFD являются вписанными углами.
    • ∠FDM и ∠FPM опираются на дугу FM.
    • ∠DFM и ∠DPM опираются на дугу DM.
  • Переформулировка доказательства:
  • 1. Диаметры: MP и DF.
  • 2. Равные дуги: Дуга MF = Дуга PD (так как центральные углы ∠MOF = ∠POD как вертикальные).
  • 3. Равные вписанные углы: Вписанный угол ∠MFD опирается на дугу MD. Вписанный угол ∠PDF опирается на дугу PF.
  • 4. Равные хорды: Из задачи 3 Варианта 3, хорды MD = PF.
  • 5. Рассмотрим треугольники ΔMFD и ΔPDF:
  • • MD = PF (доказано ранее).
    • FD — общая сторона.
    • ∠MDF и ∠PFD:
    • ∠MDF опирается на дугу MF.
    • ∠PFD опирается на дугу PD.
    • Так как дуга MF = дуга PD, то ∠MDF = ∠PFD.
    • 6. Признак равенства: По первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними), ΔMFD = ΔPFD.
    • 7. Следовательно, соответствующие углы равны: ∠MFD = ∠PDF.