Самостоятельно решить графическим способом предложенные системы уравнений. { x - y = 1, x + 3y = 9; { 2x + 4y = -5, 2y = -x + 4. { 12x + 4y = -5, 6y- 24x = -10;

Решение систем уравнений графическим способом

Давай разберем по порядку каждую систему уравнений и решим её графическим способом.

1. Система уравнений:

\[\begin{cases} x - y = 1, \\ x + 3y = 9. \end{cases}\]

Шаг 1: Выразим y через x в каждом уравнении.

• Первое уравнение: \[x - y = 1 \Rightarrow y = x - 1\]
• Второе уравнение: \[x + 3y = 9 \Rightarrow 3y = 9 - x \Rightarrow y = \frac{9 - x}{3}\]

Шаг 2: Построим графики обеих функций. Для этого найдем несколько точек для каждой прямой.

• Для \(y = x - 1\):
• Если \(x = 0\), то \(y = 0 - 1 = -1\)
• Если \(x = 1\), то \(y = 1 - 1 = 0\)
• Для \(y = \frac{9 - x}{3}\):
• Если \(x = 0\), то \(y = \frac{9 - 0}{3} = 3\)
• Если \(x = 9\), то \(y = \frac{9 - 9}{3} = 0\)

Шаг 3: Найдем точку пересечения графиков. Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = x - 1, \\ y = \frac{9 - x}{3}. \end{cases}\] \[x - 1 = \frac{9 - x}{3}\] \[3(x - 1) = 9 - x\] \[3x - 3 = 9 - x\] \[4x = 12\] \[x = 3\]

Подставим \(x = 3\) в первое уравнение:

\[y = 3 - 1 = 2\]

Таким образом, точка пересечения: \((3, 2)\).

Решение: \(x = 3, y = 2\)

2. Система уравнений:

\[\begin{cases} 2x + 4y = -5, \\ 2y = -x + 4. \end{cases}\]

Шаг 1: Выразим y через x в каждом уравнении.

• Первое уравнение: \[2x + 4y = -5 \Rightarrow 4y = -2x - 5 \Rightarrow y = \frac{-2x - 5}{4}\]
• Второе уравнение: \[2y = -x + 4 \Rightarrow y = \frac{-x + 4}{2}\]

Шаг 2: Построим графики обеих функций. Для этого найдем несколько точек для каждой прямой.

• Для \(y = \frac{-2x - 5}{4}\):
• Если \(x = -2\), то \(y = \frac{-2(-2) - 5}{4} = \frac{4 - 5}{4} = -\frac{1}{4}\)
• Если \(x = 1\), то \(y = \frac{-2(1) - 5}{4} = \frac{-2 - 5}{4} = -\frac{7}{4}\)
• Для \(y = \frac{-x + 4}{2}\):
• Если \(x = 0\), то \(y = \frac{-0 + 4}{2} = 2\)
• Если \(x = 4\), то \(y = \frac{-4 + 4}{2} = 0\)

Шаг 3: Найдем точку пересечения графиков. Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = \frac{-2x - 5}{4}, \\ y = \frac{-x + 4}{2}. \end{cases}\] \[\frac{-2x - 5}{4} = \frac{-x + 4}{2}\] \[-2x - 5 = 2(-x + 4)\] \[-2x - 5 = -2x + 8\] \[-5 = 8\]

Поскольку \(-5 = 8\) неверно, система не имеет решений. Это означает, что прямые параллельны и не пересекаются.

Решение: Нет решений.

3. Система уравнений:

\[\begin{cases} 12x + 4y = -5, \\ 6y - 24x = -10. \end{cases}\]

Шаг 1: Выразим y через x в каждом уравнении.

• Первое уравнение: \[12x + 4y = -5 \Rightarrow 4y = -12x - 5 \Rightarrow y = \frac{-12x - 5}{4}\]
• Второе уравнение: \[6y - 24x = -10 \Rightarrow 6y = 24x - 10 \Rightarrow y = \frac{24x - 10}{6} = \frac{12x - 5}{3}\]

Шаг 2: Построим графики обеих функций. Для этого найдем несколько точек для каждой прямой.

• Для \(y = \frac{-12x - 5}{4}\):
• Если \(x = 0\), то \(y = \frac{-12(0) - 5}{4} = -\frac{5}{4}\)
• Если \(x = -1\), то \(y = \frac{-12(-1) - 5}{4} = \frac{12 - 5}{4} = \frac{7}{4}\)
• Для \(y = \frac{12x - 5}{3}\):
• Если \(x = 0\), то \(y = \frac{12(0) - 5}{3} = -\frac{5}{3}\)
• Если \(x = 1\), то \(y = \frac{12(1) - 5}{3} = \frac{12 - 5}{3} = \frac{7}{3}\)

Шаг 3: Найдем точку пересечения графиков. Решим систему уравнений:

\[\begin{cases} y = \frac{-12x - 5}{4}, \\ y = \frac{12x - 5}{3}. \end{cases}\] \[\frac{-12x - 5}{4} = \frac{12x - 5}{3}\] \[3(-12x - 5) = 4(12x - 5)\] \[-36x - 15 = 48x - 20\] \[84x = 5\] \[x = \frac{5}{84}\]

Подставим \(x = \frac{5}{84}\) в первое уравнение:

\[y = \frac{-12(\frac{5}{84}) - 5}{4} = \frac{-\frac{60}{84} - 5}{4} = \frac{-\frac{5}{7} - 5}{4} = \frac{-\frac{5}{7} - \frac{35}{7}}{4} = \frac{-\frac{40}{7}}{4} = -\frac{10}{7}\]

Таким образом, точка пересечения: \((\frac{5}{84}, -\frac{10}{7})\).

Решение: \(x = \frac{5}{84}, y = -\frac{10}{7}\)

Ответ:

Система 1: \(x = 3, y = 2\)

Система 2: Нет решений.

Система 3: \(x = \frac{5}{84}, y = -\frac{10}{7}\)

Ответ: Решения найдены для каждой системы уравнений. Ты отлично справился с этой задачей!