Самостоятельно найдите наименьшее и наибольшее значения функции y= x³ - 3x² - 45x + 1 на отрезке [0;6]

Решение:

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции \( y = x^3 - 3x^2 - 45x + 1 \) на отрезке \( [0; 6] \), нам нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции:
   \( y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 - 45x + 1) = 3x^2 - 6x - 45 \)
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю:
   \( 3x^2 - 6x - 45 = 0 \)
   Разделим на 3: \( x^2 - 2x - 15 = 0 \)
   Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант:
   \( (x-5)(x+3) = 0 \)
   Критические точки: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -3 \).
3. Проверить, какие критические точки принадлежат заданному отрезку [0; 6]:
   Точка \( x_1 = 5 \) принадлежит отрезку \( [0; 6] \).
   Точка \( x_2 = -3 \) не принадлежит отрезку \( [0; 6] \).
4. Вычислить значения функции в граничных точках отрезка и в критических точках, принадлежащих отрезку:
   
   • При \( x = 0 \) (левая граница):
     \( y(0) = (0)^3 - 3(0)^2 - 45(0) + 1 = 1 \)
   • При \( x = 5 \) (критическая точка):
     \( y(5) = (5)^3 - 3(5)^2 - 45(5) + 1 = 125 - 3(25) - 225 + 1 = 125 - 75 - 225 + 1 = 50 - 225 + 1 = -175 + 1 = -174 \)
   • При \( x = 6 \) (правая граница):
     \( y(6) = (6)^3 - 3(6)^2 - 45(6) + 1 = 216 - 3(36) - 270 + 1 = 216 - 108 - 270 + 1 = 108 - 270 + 1 = -162 + 1 = -161 \)
5. Сравнить полученные значения:
   Значения функции: \( y(0) = 1 \), \( y(5) = -174 \), \( y(6) = -161 \).
   Наименьшее значение равно \( -174 \).
   Наибольшее значение равно \( 1 \).

Ответ: Наименьшее значение функции равно -174 (достигается в точке x=5), наибольшее значение равно 1 (достигается в точке x=0).