Самостоятельно! 1) DX3 + x² + 16 3 2) xx X X + 3x + 18 3) х²-4 2 x Отв Отв: 2x+1- + Omb: 1+3 3x 2 2 X + 4) 3x²+2x-1 Omb: - 22+ 5) 2x+3 Отв; 6) X2+4 X+1 X-1 7) √x Отв X-2 8) COS X 1+sinx 1 Отв; 1+sinx

Ответ: Решения представлены ниже.

1. \[\frac{x^3 + x^2 + 16}{x} = \frac{x^3}{x} + \frac{x^2}{x} + \frac{16}{x} = x^2 + x + \frac{16}{x}\]

   Ответ: \(x^2 + x + \frac{16}{x}\)

2. \[\frac{x \cdot \sqrt[3]{x} + 3x + 18}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x \cdot x^{\frac{1}{3}}}{\sqrt[3]{x}} + \frac{3x}{\sqrt[3]{x}} + \frac{18}{\sqrt[3]{x}} = x + 3x^{\frac{2}{3}} + 18x^{-\frac{1}{3}}\]

   Ответ: \(x + 3x^{\frac{2}{3}} + 18x^{-\frac{1}{3}}\) или \(x + 3\sqrt[3]{x^2} + \frac{18}{\sqrt[3]{x}}\)

3. \[\frac{x^2 - 4}{\sqrt{x}} = \frac{x^2}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt{x}} = x^{\frac{3}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}}\]

   Ответ: \(x^{\frac{3}{2}} - 4x^{-\frac{1}{2}}\) или \(x\sqrt{x} - \frac{4}{\sqrt{x}}\)

4. \[\frac{3x^2 + 2x - 1}{x^2} = \frac{3x^2}{x^2} + \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x^2} = 3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}\]

   Ответ: \(3 + \frac{2}{x} - \frac{1}{x^2}\)

5. Производная:

   \[(\frac{2x+3}{x^2+4})' = \frac{2(x^2+4) - (2x+3)(2x)}{(x^2+4)^2} = \frac{2x^2+8 - 4x^2 - 6x}{(x^2+4)^2} = \frac{-2x^2 - 6x + 8}{(x^2+4)^2}\]

   Ответ: \(\frac{-2x^2 - 6x + 8}{(x^2+4)^2}\)

6. Производная:

   \[(\frac{x+1}{x-1})' = \frac{1(x-1) - (x+1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{x-1 - x - 1}{(x-1)^2} = \frac{-2}{(x-1)^2}\]

   Ответ: \(\frac{-2}{(x-1)^2}\)

7. Производная:

   \[(\frac{\sqrt{x}}{x-2})' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x-2) - \sqrt{x}(1)}{(x-2)^2} = \frac{\frac{x-2}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x-2)^2} = \frac{\frac{x-2 - 2x}{2\sqrt{x}}}{(x-2)^2} = \frac{-x-2}{2\sqrt{x}(x-2)^2}\]

   Ответ: \(\frac{-x-2}{2\sqrt{x}(x-2)^2}\)

8. Производная:

   \[(\frac{\cos x}{1 + \sin x})' = \frac{-\sin x(1+\sin x) - \cos x(\cos x)}{(1 + \sin x)^2} = \frac{-\sin x - \sin^2 x - \cos^2 x}{(1 + \sin x)^2} = \frac{-\sin x - 1}{(1 + \sin x)^2} = \frac{-1}{1 + \sin x}\]

   Ответ: \(\frac{-1}{1 + \sin x}\)

Ответ: Решения представлены выше.