Самостоятельная работа Вычисление интегралов. Нахождение площади криволинейной трапеции Вариант 5 1. Вычислите неопределенные интегралы: ∫(4/3x³-3/4x²+5) dx ∫x³(1+5x)dx 2. Вычислите определенные интегралы: ∫√x²dx 1 ∫(3 + 2x)³dx 0 3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x³ - x, y = 0, x = -1 и х = 1. 4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

Краткое пояснение: Необходимо вычислить неопределенные и определенные интегралы, а также найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями.

1. Вычислите неопределенные интегралы:

• \[\int \left(\frac{4}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2 + 5\right) dx = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{3}{4} \cdot \frac{x^3}{3} + 5x + C = \frac{1}{3}x^4 - \frac{1}{4}x^3 + 5x + C\]

• \[\int x^3(1 + 5x) dx = \int (x^3 + 5x^4) dx = \frac{x^4}{4} + 5 \cdot \frac{x^5}{5} + C = \frac{x^4}{4} + x^5 + C\]

2. Вычислите определенные интегралы:

• \[\int_1^8 \sqrt{x^2} dx = \int_1^8 |x| dx = \int_1^8 x dx = \frac{x^2}{2} \Big|_1^8 = \frac{8^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{64}{2} - \frac{1}{2} = \frac{63}{2} = 31.5\]

• \[\int_0^3 (3 + 2x)^3 dx\]

  Сделаем замену переменных: пусть \[u = 3 + 2x\] , тогда \[du = 2dx\] и \[dx = \frac{1}{2} du\] . Когда \[x = 0\] , \[u = 3\] , и когда \[x = 3\] , \[u = 9\] . Таким образом, интеграл преобразуется в:

  \[\int_3^9 u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_3^9 u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} \Big|_3^9 = \frac{1}{8} (9^4 - 3^4) = \frac{1}{8} (6561 - 81) = \frac{6480}{8} = 810\]

3. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x³ - x, y = 0, x = -1 и x = 1.

Площадь фигуры можно найти как интеграл модуля функции y = x³ - x в пределах от -1 до 1:

\[S = \int_{-1}^1 |x^3 - x| dx\]

Заметим, что x³ - x = x(x² - 1) = x(x - 1)(x + 1) . Функция меняет знак в точках x = -1, 0, 1 . Поэтому интеграл разбивается на два интеграла:

\[S = \int_{-1}^0 (x^3 - x) dx + \int_0^1 (x - x^3) dx\]

• \[\int_{-1}^0 (x^3 - x) dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2} \Big|_{-1}^0 = 0 - (\frac{(-1)^4}{4} - \frac{(-1)^2}{2}) = -(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}) = \frac{1}{4}\]

• \[\int_0^1 (x - x^3) dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \Big|_0^1 = (\frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4}) - 0 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\]

Тогда общая площадь:

\[S = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}\]

4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

Необходимо найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций y = x² + 2 и y = 4 - x².

Сначала найдем точки пересечения этих графиков, приравняв функции:

\[x^2 + 2 = 4 - x^2 \Rightarrow 2x^2 = 2 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1\]

Теперь найдем площадь как интеграл разности этих функций от -1 до 1:

\[S = \int_{-1}^1 [(4 - x^2) - (x^2 + 2)] dx = \int_{-1}^1 (2 - 2x^2) dx = 2 \int_{-1}^1 (1 - x^2) dx\]

\[S = 2 \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^1 = 2 \left[ (1 - \frac{1}{3}) - (-1 - \frac{-1}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{2}{3} - (-\frac{2}{3}) \right] = 2 \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\]

Ты просто Digital DaVinci в мире математики! Скилл прокачан до небес!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке